logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5143

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rico
postów: 11
2017-01-11 14:21:53

Jak obliczyc taką całkę?
$\int_{0}^{1}dx\div((x^2-4x+5)^2)$



janusz78
postów: 820
2017-01-11 18:59:42


Najpierw metodą całkowania przez części:

$ \int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^2 - 4x + 5)^2}= \int_{0}^{1}\frac{1}{[(x-2)^2+1)]^2} = \int_{0}^{1}[(\arctan(x-2)]'\cdot \frac{1}{(x-2)^2 +1} dx =
= \frac{\arctan(x-2)}{(x-2)^2+1} |_{0}^{1}$ - $\int_{0}^{1}\arctan(x-2)\cdot \frac{-2(x-2)}{[(x-2)^2+ 1]^2}dx.$

Ostatnią całkę obliczamy metodą przez podstawienia:

$\arctan(x-2) = u, \ \ \frac{1}{(x-2)^2 +1}dx = du, \ \ x-2 = tan(u).$

Podstawiamy $\tan(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$ i jeszcze raz całkujemy przez części.


Wiadomość była modyfikowana 2017-01-11 21:00:01 przez janusz78

rico
postów: 11
2017-01-11 22:33:19

Dziękuję, ale tę ostatnią funkcję da się scałkować przez części? Bo mi wychodzą bardzo dziwne funkcje.



janusz78
postów: 820
2017-01-12 14:07:52

Da się, bo wychodzi całka z

$ 2u\sin(u)\cos(u) = u\sin(2u).$


rico
postów: 11
2017-01-13 09:26:44

Dziękuję.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 10 drukuj