logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 5156

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 865
2017-01-14 18:17:12

Jak udowodnic twierdzenie Eulera dla wieloscianow najbardziej elementarnie z wykorzystaniem teorii grafow?


tumor
postów: 8070
2017-01-14 18:29:11

Rozważ graf planarny.
Ścianą nazwiemy obszar ograniczony krawędziami.

Jedna ściana (otoczona krawędziami) to
Ś+W=K+1
ponieważ W=K (Wierzchołki, Krawędzie, Ściany)

Dodanie kolejnej ściany to dodanie 1Ś, nW oraz (n+1)K, czyli nie zaburzamy równości
Ś+W=K+1

jeśli obszar poza naszym grafem interpretujemy jako ścianę:
Ś+W=K+2


(jeśli z wielościanu usuniemy jedną ścianę - ona będzie naszym "zewnętrzem", to krawędzie i wierzchołki wielościanu tworzą graf planarny)


geometria
postów: 865
2017-01-15 21:40:14

Probuje to zrozumiec.
Dlaczego W=K?
Z tego wychodzi pozniej indukcja?


tumor
postów: 8070
2017-01-15 21:53:42

Jeśli masz jedną ścianę, to jest ona otoczona krawędziami i chyba jest jasne, że wierzchołków jest tyle, co krawędzi (łamana zamknięta, każdy wierzchołek łączy dokładnie 2 krawędzie)

Stąd W=K dla jednej ściany, którą taką łamaną ograniczamy. Następnie, jak mówisz, mamy indukcję względem liczby ścian (dodawanych "na zewnątrz" grafu). Dołączenie nowych krawędzi i wierzchołków (minimalnie pojedyncza krawędź bez wierzchołków) zawsze dodaje nam jedną krawędź więcej niż dodaje wierzchołków, ale dodaje też jedną ścianę, stąd zachowanie nierówności. Ostatecznie obszar poza grafem interpretujemy jako ścianę, stąd W+Ś=K+2 (a nie +1).

Wielościan można zawsze (w umyśle) rozciągnąć (zmieniając kształt, ale nie wzajemne relacje krawędzi i wierzchołków) by powstał graf tego rodzaju, choć wymaga to uprzednio pozbawienia wielościanu jednej ściany (która się w "zewnętrze" zamieni).

Dodajmy przy tym, że wypada mieć dość dobrą definicję wielościanu.
Nietrudno podać figury przestrzenne, które wzoru Eulera nie spełniają. Dla nich niepoprawne będzie też powyższe rozumowanie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj