Geometria, zadanie nr 5156
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-01-14 18:17:12Jak udowodnic twierdzenie Eulera dla wieloscianow najbardziej elementarnie z wykorzystaniem teorii grafow? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-01-14 18:29:11 Rozwa偶 graf planarny. 艢cian膮 nazwiemy obszar ograniczony kraw臋dziami. Jedna 艣ciana (otoczona kraw臋dziami) to 艢+W=K+1 poniewa偶 W=K (Wierzcho艂ki, Kraw臋dzie, 艢ciany) Dodanie kolejnej 艣ciany to dodanie 1艢, nW oraz (n+1)K, czyli nie zaburzamy r贸wno艣ci 艢+W=K+1 je艣li obszar poza naszym grafem interpretujemy jako 艣cian臋: 艢+W=K+2 (je艣li z wielo艣cianu usuniemy jedn膮 艣cian臋 - ona b臋dzie naszym \"zewn臋trzem\", to kraw臋dzie i wierzcho艂ki wielo艣cianu tworz膮 graf planarny) |
geometria post贸w: 865 | 2017-01-15 21:40:14 Probuje to zrozumiec. Dlaczego W=K? Z tego wychodzi pozniej indukcja? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-01-15 21:53:42 Je艣li masz jedn膮 艣cian臋, to jest ona otoczona kraw臋dziami i chyba jest jasne, 偶e wierzcho艂k贸w jest tyle, co kraw臋dzi (艂amana zamkni臋ta, ka偶dy wierzcho艂ek 艂膮czy dok艂adnie 2 kraw臋dzie) St膮d W=K dla jednej 艣ciany, kt贸r膮 tak膮 艂aman膮 ograniczamy. Nast臋pnie, jak m贸wisz, mamy indukcj臋 wzgl臋dem liczby 艣cian (dodawanych \"na zewn膮trz\" grafu). Do艂膮czenie nowych kraw臋dzi i wierzcho艂k贸w (minimalnie pojedyncza kraw臋d藕 bez wierzcho艂k贸w) zawsze dodaje nam jedn膮 kraw臋d藕 wi臋cej ni偶 dodaje wierzcho艂k贸w, ale dodaje te偶 jedn膮 艣cian臋, st膮d zachowanie nier贸wno艣ci. Ostatecznie obszar poza grafem interpretujemy jako 艣cian臋, st膮d W+艢=K+2 (a nie +1). Wielo艣cian mo偶na zawsze (w umy艣le) rozci膮gn膮膰 (zmieniaj膮c kszta艂t, ale nie wzajemne relacje kraw臋dzi i wierzcho艂k贸w) by powsta艂 graf tego rodzaju, cho膰 wymaga to uprzednio pozbawienia wielo艣cianu jednej 艣ciany (kt贸ra si臋 w \"zewn臋trze\" zamieni). Dodajmy przy tym, 偶e wypada mie膰 do艣膰 dobr膮 definicj臋 wielo艣cianu. Nietrudno poda膰 figury przestrzenne, kt贸re wzoru Eulera nie spe艂niaj膮. Dla nich niepoprawne b臋dzie te偶 powy偶sze rozumowanie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj