logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 517

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gosza
postów: 8
2012-09-17 01:34:17

Rozwiązać równanie różniczkowe y'=3y+$e^{x}$


tumor
postów: 8070
2012-09-17 07:43:52

Mamy tu do czynienia z równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne

$\frac{dy}{dx}-3y=0$

$\frac{dy}{dx}=3y$
$\frac{dy}{y}=3dx$

$\ln |y|=3x+C_1$
$|y|=e^{3x+C_1}=C_2e^{3x}$
$y=C_3e^{3x}$

Następnie rozwiązujemy równanie niejednorodne metodą uzmienniania stałej.
Zatem
$y=C(x)e^{3x}$
$y`=C`(x)e^{3x}+C(x)3e^{3x}$
mamy $y`=3y+e^x$
Czyli
$C`(x)e^{3x}+C(x)3e^{3x}=3C(x)e^{3x}+e^x$
$C`(x)e^{3x}=e^x$
$C`(x)=e^{x-3x}$
$C`(x)=e^{-2x}$
$C(x)=\frac{-1}{2}e^{-2x}+C_4$

Ostatecznie
$y=(\frac{-1}{2}e^{-2x}+C)e^{3x}=\frac{-1}{2}e^x+Ce^{3x}$



gosza
postów: 8
2012-09-20 11:16:33

Chciałabym tak wszystko ogarniać, dzięki ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 37 drukuj