Teoria liczb, zadanie nr 5180
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
madziag88 post贸w: 14 |  2017-01-18 14:46:32Prosz臋 o pomoc w uzasadnieniu wykorzystuj膮c w艂asno艣ci domkni臋cia nast臋puj膮ce w艂asno艣ci operacji wn臋trza dla dowolnych $A, B \subset X$ a) $Int A $ jest zbiorem otwartym, b) $Int A \subset A$, c) $Int (A\cap B)= Int A \cap Int B $, d)$Int A \cup Int B \subset Int (A \cup B) $, e) A jest zbiorem otwartym $\iff$ A= Int A, f) $Int A= Int(Int A)$, g)$ Int \emptyset=\emptyset$ h) Int X=X i) $A \subset B\Rightarrow Int A \subset Int B$. Prosz臋 o wyt艂umaczenie. |
madziag88 post贸w: 14 | 2017-01-18 15:21:13 Wn臋trze: $Int A= \cup \mathcal{\theta}_A$ |
madziag88 post贸w: 14 | 2017-01-18 15:22:50 Domkni臋cie: $\overline{A}=\cap D_A$ |
tumor post贸w: 8070 | 2017-01-18 16:55:54 Wn臋trze to, jak piszesz, suma zbior贸w otwartych zawartych w A. Skoro co艣 jest sum膮 zbior贸w otwartych, to jest to zbi贸r otwarty, dlatego a) $intA$ jest otwarty b) suma zbior贸w zawartych w A musi by膰 zbiorem zawartym w A c) $A\cap B\subset A$ $int(A\cap B)\subset A$ lewa strona jest zbiorem otwartym zawartym w A, czyli jest zawarta we wn臋trzu A, czyli $int (A\cap B)\subset int A$ wobec tego $int (A\cap B)\subset int A\cap int B$ w drug膮 stron臋 $intA\cap int B \subset A\cap B$ (to oczywiste skoro b) Lewa strona jest zbiorem otwartym zawartym w A\cap B, wi臋c tak偶e w jego wn臋trzu $intA\cap int B \subset int(A\cap B)$ d) $A\subset A\cup B$ $int A\subset A\cup B$ lewa strona jest zbiorem otwartym zawartym w prawej stronie, wi臋c tak偶e w jej wn臋trzu $int A\subset int (A\cup B)$ podobnie B, wobec tego $int A\cup int B \subset int (A\cup B)$ e) skoro a), to wn臋trze jest zbiorem otwartym, a skoro b), to zawartym w A. Je艣li A jest otwarty, to $A\subset int A$, co daje $A=intA$, je艣li natomiast $A=intA$, to jest otwarty jak wszystkie wn臋trza f) wynika z e), skoro intA jest otwarty, to jego wn臋trze $int(intA)$ jest mu r贸wne g) $\emptyset$ jest otwarty, zatem pasuje do e) h) korzystamy z e) jak w g) i) z definicji wn臋trza wprost wynika, 偶e je艣li zbi贸r otwarty zawiera si臋 w jakim艣 zbiorze B, to zawiera si臋 tak偶e w jego wn臋trzu. $intA\subset A\subset B$, czyli intA zawiera si臋 w B (a jest otwarty), wobec tego $intA\subset int B$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj