Topologia, zadanie nr 5181

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
madziag88 postów: 14	2017-01-18 16:23:32 Uzasadnij zależności: a)$Int A= A \backslash \partial A$, b) $\overline{A}=A \cup A^d$, c) $\overline{A_d}=\overline{A}^d$, d)$A \subset B \Rightarrow A^d \subset B^d$. Proszę o pomoc.

tumor postów: 8070	2017-01-18 16:58:12 a jak definiowaliście brzeg i pochodną zbioru?

madziag88 postów: 14	2017-01-18 19:08:49 $ \partial A= \overline{A}\backslash Int A$ Pochodna: $ x \in A^d \iff x \in \overline{A\backslash\{X\}}$

tumor postów: 8070	2017-01-18 21:24:41 W definicji pochodnej będzie mały x, a nie duży X. a) mamy $\overline{A}=int A\cup \partial A$ $int A \cap \partial A=\emptyset$ czyli po polsku mówiąc: domknięcie jest sumą rozłącznych zbiorów: wnętrza i brzegu. mamy $int A\subset A$, odjęcie od prawej strony zbioru rozłącznego z lewą nic nie zmienia, czyli $int A\subset A \backslash \partial A$ Natomiast $A\backslash \partial A\subset \overline{A}\backslash \partial A = int A$ b) $x\in A \Rightarrow x\in \overline{A}$ $x\in A^d \Rightarrow x\in \overline{A\backslash \{x\}}\subset \overline{A}$ w drugą stronę, jeśli $x\in \overline{A}$, ale $x\notin A^d$, to znaczy $x\notin \overline{A\backslash \{x\}}$, czyli $x\in U$, zbiór U otwarty i rozłączny z $A\backslash \{x\}$. Zatem $X\backslash U$ domknięty i zawierający $A\backslash \{x\}$. Gdyby $x\notin A$, to $x\notin \overline{A}$

tumor postów: 8070	2017-01-18 22:08:51 c) zapewne miało być $\overline{A^d}=\overline{A}^d$ i raczej powinno się pojawić założenie, że jesteśmy w przestrzeni $T_1$. Pokażemy, że pochodna zbioru jest zbiorem domkniętym. Niech $x\notin A^d$, czyli $x\notin \overline{A\backslash \{x\}}$, czyli $x\in U$, zbiór U otwarty i rozłączny z $\overline{A\backslash \{x\}}$. Niech $y\in U$, istnieje V otwarty, że $y\in V$ i $x\notin V$, wobec tego $y\in U\cap V$ oraz $(U\cap V)\cap (\overline{A\backslash \{y\}})=\emptyset$. Czyli całe otoczenie U punktu x jest rozłączne z $A^d$, czyli dopełnienie $A^d$ jest otwarte, $A^d$ domknięty. Wobec tego $\overline{A^d}=A^d$ Pochodna zbioru domkniętego jest zawarta w tym zbiorze, bowiem jeśli jakiś element nie należy do zbioru domkniętego to razem z otoczeniem otwartym. Czyli $(A^d)^d\subset A^d$ $(A\cup B)^d=A^d\cup B^d$, bo jeśli x nie należy do lewej strony, to razem z otoczeniem otwartym U rozłącznym z $(A\cup B)\backslash \{x\}$, wobec tego rozłącznym i z $A\backslash \{x\}$ oraz z $B\backslash \{x\}$. W drugą stronę podobnie, jeśli x ma otoczenia U,V rozłączne z $A\backslash \{x\}$ i $B\backslash \{x\}$, to ich przekrój jest rozłączny z $(A\cup B)\backslash \{x\}$ Stąd $\overline{A}^d=(A\cup A^d)^d=A^d\cup(A^d)^d=A^d$ -- d) korzystając z powyższej własności sumy mamy $B^d=(A\cup (B\backslash A))=A^d\cup (B\backslash A)^d$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj