Topologia, zadanie nr 5181
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
madziag88 post贸w: 14 |  2017-01-18 16:23:32Uzasadnij zale偶no艣ci: a)$Int A= A \backslash \partial A$, b) $\overline{A}=A \cup A^d$, c) $\overline{A_d}=\overline{A}^d$, d)$A \subset B \Rightarrow A^d \subset B^d$. Prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-01-18 16:58:12 a jak definiowali艣cie brzeg i pochodn膮 zbioru? |
madziag88 post贸w: 14 | 2017-01-18 19:08:49 $ \partial A= \overline{A}\backslash Int A$ Pochodna: $ x \in A^d \iff x \in \overline{A\backslash\{X\}}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2017-01-18 21:24:41 W definicji pochodnej b臋dzie ma艂y x, a nie du偶y X. a) mamy $\overline{A}=int A\cup \partial A$ $int A \cap \partial A=\emptyset$ czyli po polsku m贸wi膮c: domkni臋cie jest sum膮 roz艂膮cznych zbior贸w: wn臋trza i brzegu. mamy $int A\subset A$, odj臋cie od prawej strony zbioru roz艂膮cznego z lew膮 nic nie zmienia, czyli $int A\subset A \backslash \partial A$ Natomiast $A\backslash \partial A\subset \overline{A}\backslash \partial A = int A$ b) $x\in A \Rightarrow x\in \overline{A}$ $x\in A^d \Rightarrow x\in \overline{A\backslash \{x\}}\subset \overline{A}$ w drug膮 stron臋, je艣li $x\in \overline{A}$, ale $x\notin A^d$, to znaczy $x\notin \overline{A\backslash \{x\}}$, czyli $x\in U$, zbi贸r U otwarty i roz艂膮czny z $A\backslash \{x\}$. Zatem $X\backslash U$ domkni臋ty i zawieraj膮cy $A\backslash \{x\}$. Gdyby $x\notin A$, to $x\notin \overline{A}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2017-01-18 22:08:51 c) zapewne mia艂o by膰 $\overline{A^d}=\overline{A}^d$ i raczej powinno si臋 pojawi膰 za艂o偶enie, 偶e jeste艣my w przestrzeni $T_1$. Poka偶emy, 偶e pochodna zbioru jest zbiorem domkni臋tym. Niech $x\notin A^d$, czyli $x\notin \overline{A\backslash \{x\}}$, czyli $x\in U$, zbi贸r U otwarty i roz艂膮czny z $\overline{A\backslash \{x\}}$. Niech $y\in U$, istnieje V otwarty, 偶e $y\in V$ i $x\notin V$, wobec tego $y\in U\cap V$ oraz $(U\cap V)\cap (\overline{A\backslash \{y\}})=\emptyset$. Czyli ca艂e otoczenie U punktu x jest roz艂膮czne z $A^d$, czyli dope艂nienie $A^d$ jest otwarte, $A^d$ domkni臋ty. Wobec tego $\overline{A^d}=A^d$ Pochodna zbioru domkni臋tego jest zawarta w tym zbiorze, bowiem je艣li jaki艣 element nie nale偶y do zbioru domkni臋tego to razem z otoczeniem otwartym. Czyli $(A^d)^d\subset A^d$ $(A\cup B)^d=A^d\cup B^d$, bo je艣li x nie nale偶y do lewej strony, to razem z otoczeniem otwartym U roz艂膮cznym z $(A\cup B)\backslash \{x\}$, wobec tego roz艂膮cznym i z $A\backslash \{x\}$ oraz z $B\backslash \{x\}$. W drug膮 stron臋 podobnie, je艣li x ma otoczenia U,V roz艂膮czne z $A\backslash \{x\}$ i $B\backslash \{x\}$, to ich przekr贸j jest roz艂膮czny z $(A\cup B)\backslash \{x\}$ St膮d $\overline{A}^d=(A\cup A^d)^d=A^d\cup(A^d)^d=A^d$ -- d) korzystaj膮c z powy偶szej w艂asno艣ci sumy mamy $B^d=(A\cup (B\backslash A))=A^d\cup (B\backslash A)^d$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj