Statystyka, zadanie nr 5186
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pandusia post贸w: 1 |  2017-01-18 19:50:23Niech $X=(X_{1},...X_{n})$ b臋dzie pr贸b膮 z rozk艂adu o ci膮g艂ej dystrybuancie F. Wykaza膰, 偶e zmienna losowa $F(X_{(k)})$ ma rozk艂ad beta B(k, n-k+1). Prosz臋 o jakie艣 wskaz贸wki :) |
janusz78 post贸w: 820 | 2017-01-19 17:11:47 Rozpatrujemy $ n $ losow膮 pr贸b臋 ci膮g艂膮 (o ci膮g艂ej dystrybuancie) i jednakowym rozk艂adzie na przyk艂ad jednostajnym na odcinku $[0; \ \ 1].$ Niech zmienna losowa $ X_{k}$ b臋dzie $ k-$t膮 w艣r贸d nich (k-t膮 statystyk膮 pozycyjn膮). Obliczymy g臋sto艣膰 pr贸by $ X = (X_{1}, X_{2},...,X_{n}).$ Niech $ 0 < x < 1$ i niech $ x = [x1;\ \ x2] $ b臋dzie najmniejszym przedzia艂em zawieraj膮cym $ x.$ Na podstawie definicji funkcji g臋sto艣ci: $f(x)\approx \frac{P(\left\{ X\in \Delta x\right\})}{x_{2} - x_{1}}.$ Zdarzenie $\left\{ X \in \Delta X,\right\}$ wyst臋puj膮ce w liczniku, oznacza, 偶e $ k $-ty punkt nale偶y do $ [x1; x2), $ i 偶e co najmniej jeden punkt $ X $ znajduje si臋 w przedziale $ [x1; \ \ x2)$ oraz $ k - 1$ punkt贸w nale偶y do $ [0; \ \ X)$ i $ n - k $ zawiera si臋 w $ [X; \ \ 1].$ To jest dobra aproksymacja zdarzenia, 偶e $ k - 1 $ punkt贸w nale偶y do $[0,\ \ x_{1})$ jeden punkt znajduje si臋 w $ [x_{1};\ \ x_{2}) $ i $ (n - k) $ w $ [x_{2}; \ \ 1]. $. Korzystaj膮c ze wzoru na g臋sto艣膰 rozk艂adu multi- hypergeometrycznego, otrzymujemy: $ P(\left\{ X\in \Delta X\right\}) = \frac{n!}{(k-1)!1!(n-k)!}x_{1}^{k-1}(x_{2}-x_{1})^{1}(1-x_{2})^{n-k} $ (1) uwzgl臋dniaj膮c, 偶e $ 1! =1$ i dziel膮c r贸wno艣膰 (1) przez $ (x_{2}- x_{1}), $ otrzymujemy wz贸r na funkcj臋 g臋sto艣ci $ f $ dla $ 0< x < 1$ rozk艂adu $\beta(k, n-k+1).$ $ f(x) =\frac{ n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k}, \ \ 0<x <1, $ co mieli艣my wykaza膰. Mo偶na udowodni膰, (ca艂kuj膮c przez cz臋艣ci), 偶e dystrybuanta spe艂nia r贸wnanie: $F(X_{k}) = F_{k}(x)= \int_{0}^{x}f(x)dx = \int_{0}^{x}\frac{ n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k}dx = \sum_{i=k}^{n}{n\choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}.$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-01-19 17:47:10 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj