Statystyka, zadanie nr 5186

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pandusia postów: 1	2017-01-18 19:50:23 Niech $X=(X_{1},...X_{n})$ będzie próbą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F. Wykazać, że zmienna losowa $F(X_{(k)})$ ma rozkład beta B(k, n-k+1). Proszę o jakieś wskazówki :)

janusz78 postów: 820	2017-01-19 17:11:47 Rozpatrujemy $ n $ losową próbę ciągłą (o ciągłej dystrybuancie) i jednakowym rozkładzie na przykład jednostajnym na odcinku $[0; \ \ 1].$ Niech zmienna losowa $ X_{k}$ będzie $ k-$tą wśród nich (k-tą statystyką pozycyjną). Obliczymy gęstość próby $ X = (X_{1}, X_{2},...,X_{n}).$ Niech $ 0 < x < 1$ i niech $ x = [x1;\ \ x2] $ będzie najmniejszym przedziałem zawierającym $ x.$ Na podstawie definicji funkcji gęstości: $f(x)\approx \frac{P(\left\{ X\in \Delta x\right\})}{x_{2} - x_{1}}.$ Zdarzenie $\left\{ X \in \Delta X,\right\}$ występujące w liczniku, oznacza, że $ k $-ty punkt należy do $ [x1; x2), $ i że co najmniej jeden punkt $ X $ znajduje się w przedziale $ [x1; \ \ x2)$ oraz $ k - 1$ punktów należy do $ [0; \ \ X)$ i $ n - k $ zawiera się w $ [X; \ \ 1].$ To jest dobra aproksymacja zdarzenia, że $ k - 1 $ punktów należy do $[0,\ \ x_{1})$ jeden punkt znajduje się w $ [x_{1};\ \ x_{2}) $ i $ (n - k) $ w $ [x_{2}; \ \ 1]. $. Korzystając ze wzoru na gęstość rozkładu multi- hypergeometrycznego, otrzymujemy: $ P(\left\{ X\in \Delta X\right\}) = \frac{n!}{(k-1)!1!(n-k)!}x_{1}^{k-1}(x_{2}-x_{1})^{1}(1-x_{2})^{n-k} $ (1) uwzględniając, że $ 1! =1$ i dzieląc równość (1) przez $ (x_{2}- x_{1}), $ otrzymujemy wzór na funkcję gęstości $ f $ dla $ 0< x < 1$ rozkładu $\beta(k, n-k+1).$ $ f(x) =\frac{ n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k}, \ \ 0<x <1, $ co mieliśmy wykazać. Można udowodnić, (całkując przez części), że dystrybuanta spełnia równanie: $F(X_{k}) = F_{k}(x)= \int_{0}^{x}f(x)dx = \int_{0}^{x}\frac{ n!}{(k-1)!(n-k)!}x^{k-1}(1-x)^{n-k}dx = \sum_{i=k}^{n}{n\choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}.$ Wiadomość była modyfikowana 2017-01-19 17:47:10 przez janusz78

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj