logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 522

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rpyda
postów: 1
2012-09-27 16:31:46

Cewe-Nahorska-Pancer: Tablice Matematyczne str.34.
Pochodna pierwiastka n tego stopnia z x = 1/(n*root(n, x^(n-1)).

Czyli 1/(3*(cuberoot(x^2)) dla pierwiastka 3-ego stopnia.
********

Mam małe pytanie (trochę rozbudowane) z historii matematyki:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Pierwiastkowanie

1.Symbol pierwiastkowania wprowadził Abu al-Hasana ibn Aliego al-Qalasadi bo zauważył, że potrzebuje funkcji odwrotnej do x^3.
*****
Dla nieparzystych n każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych n.
*****
2.Później ktoś stwierdził, że można również to zapisywać x^(1/3). Kto to był?
3.Następnie ktoś stwierdził, że x^(1/3) nie jest tożsame z funkcją x^(2/6) ponieważ pierwiastek trzeciego stopnia z x to nie to samo co pierwiastek szóstego stopnia z x^2. Dlatego wyznaczył dziedzinę tej funkcji x>=0 i oddzielił tę funkcję od pierwiastka. Kto to był?
4.Później ktoś zauważając tę nieścisłość przeniósł tę dziedzinę x>=0 do definicji pierwiastka i WYSZŁA BZDURA! Może nie interesuje mnie dokładnie kto to był (a może to było jakieś gremium, konsylium matematyków) tylko jakie miał motywy swojego działania?? -(oprócz wykładnika ułamkowego?)

Bo jeśli jego motywem było tylko powyższe, to jaki sens ma zapisywanie "starego" pierwiastka trzeciego stopnia w sposób:

dla x>=0 cuberoot(x)
dla x<0 -cuberoot(-x)

zamiast zwykłej definicji:

dla n parzystych root(n, x) ma dziedzinę x>=0
dla n nieparzystych root(n, x) ma dziedzinę x należy do R
________________

Dlatego między innymi większość ludzi jeszcze nie przestawiła się na tę pierwszą definicję. Nawet Roman Leitner w I części Zarys Matematyki Wyższej podaje wykres dla x<0.


tumor
postów: 8070
2012-09-27 18:58:42

Nie podam nazwisk, ale częściowo Twoje wątpliwości skomentuję.

W liczbach zespolonych istnieje $n$ różnych pierwiastków stopnia $n$ z liczby $z\neq 0$, przy tym jeśli przypadkiem $z$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią, a $n$ jest parzyste, to dwa z tych pierwiastków są rzeczywiste. Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $z$ rzeczywiste ma jeden pierwiastek, który jest liczbą rzeczywistą. Jeśli wreszcie $z$ jest rzeczywiste ujemne, a $n$ jest parzyste, to żaden pierwiastek z $z$ nie jest rzeczywisty.

Przyjęcie $\sqrt{4}=2$, gdy nie tylko $2^2=4$, ale też $(-2)^2=4$, jest już kwestią umowy, wyboru, zdecydowania się na coś dla zachowania własności funkcji. Uproszczenie bądź ograniczenie się do mniejszej dziedziny pozwala badać własności, przykładowo licealistom łatwiej powiedzieć, jak się nie pierwiastkuje niż co to są liczby zespolone. :)

Wykładnik $\frac{1}{3}$ jest sensowną intuicją pierwiastka, skoro chcemy zachować pewne wzory związane z potęgami o wykładniku naturalnym (rozumianymi jako funkcje zmiennej rzeczywistej).

Wykładnik $\frac{2}{6}$ budzi wątpliwości, źle rozumiany pozwala udowodnić, że $x=-x$, co kłopotliwe. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj