Algebra, zadanie nr 5251

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-01-31 11:33:26 Mamy rownanie \|x\|=$y\sqrt{x}$. ( x,y niewiadome) Dziedzina: D={(x,y):$x\ge 0\wedge y \ge 0$}. ( bo liczba podpierwiastkowa musi byc nieujemna, czyli $x\ge 0$; pierwiastek kwadratowy jest nieujemny,czyli$\sqrt{x}\ge 0$;wartosc z modulu jest nieujemna, czyli $y \sqrt{x} \ge 0$; z tego wynika, ze y musi byc nieujemne, czyli $y\ge 0$) Czy dziedzina jest wyznaczona poprawnie?

tumor postów: 8070	2017-01-31 12:45:20 Ta uwaga była już wcześniej: Zasadniczo nie ma potrzeby wykluczać ujemnych y z dziedziny. Gdy opisujemy dziedzinę, zastanawiamy się tylko nad tym, dla jakich x,y wyrażenia mają sens (a dzielenie przez 0, na przykład, sensu nie ma). Ty natomiast robisz więcej, bo odrzucasz obszar, dla którego wyrażenie ma sens, jednak równanie nie ma rozwiązań. Na przykład: \|x\|+2=1 nie ma żadnych rozwiązań. Czy jednak coś Ci broni ustalić dziedzinę R, a dopiero potem rozważyć, że wewnątrz niej nie ma rozwiązań? Gdy zatem od razu zakładasz, że do dziedziny nie mogą należeć punkty z ujemnymi y, to równie dobrze możesz założyć, że do dziedziny nie należy punkt (2,2). Wszak on też NIE JEST ROZWIĄZANIEM. Wobec tego słusznie ograniczasz obszar swoich zainteresowań do x nieujemnych i y nieujemnych, o ile jednak x muszą być nieujemne ze względu na sens operatora pierwiastka, to y już tylko dlatego, że nie ma rozwiązań z y ujemnymi. Analogicznie w równaniu $\sqrt{x+1}=2$ powiemy, że x nie może być mniejszy od -1 (to dziedzina), ale zarazem nie są przecież rozwiązaniami liczby większe od 3. A czy przyjdzie Ci do głowy usuwać przedział $(3,\infty)$ z dziedziny takiego równania? Jakby dziedzina była dokładnie tym samym, co zbiór rozwiązań, to byśmy ich oddzielnie nie omawiali. :)

geometria postów: 865	2017-02-01 10:42:17 Zatem $D=${$(x,y): $$x\ge 0 \wedge y\in R$}. \|$x$\|=$y\sqrt{x}$ $/()$$^{2}$ $\|x\|^{2}$=$y^{2}x$; $\|x\|^{2}$=$x^{2}$ $x^{2}$$-y^{2}x=0$ $x(x-y^{2})=0$ $x=0 \vee x=y^{2}$ (mozna tez wyliczyc $y$, byloby wowczas $y=-\sqrt{x} \vee y=\sqrt{x}$ i wtedy to podstawic do rownania i pozniej chcac zapisac rozwiazanie za $y$ wstawilibysmy $\sqrt{x}$) Podstawiam do rownania. Jak $x=0$, to mamy: $0=y*0$; $y\in R$, zatem {$(0, a): a\in R$}. Jak x=$y^{2}$ $y^{2}$=y$\sqrt{y^{2}}$ $y^{2}$=y\|y\| $y^{2}$$-y\|y\|=0$ $y(y-\|y\|)=0$ $y=0 \vee y=\|y\|$, ale to jest prawdziwe dla $y\ge 0$, zatem {$(b^{2}, b): b\ge 0$}. Rozwiazaniem rownania jest zbior {$(0, a), (b^{2}, b): a\in R, b\ge 0$}. Czy to jest poprawne rozwiazanie?

tumor postów: 8070	2017-02-01 11:31:04 Teraz jest ok. Przy okazji widać, że wtedy zbyt pochopnie usuwałeś y ujemne, bo dla x=0 może być y ujemny. Poza tym przy dziedzinie z x nieujemnymi nie ma sensu pisać \|x\|, można od razu x.

geometria postów: 865	2017-02-01 12:24:10 Dziekuje.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj