logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 526

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

judge
postów: 1
2012-10-07 12:15:35

$\frac{3x^{3}-x^{2}-3x+1}{2-x}>0$

mam nadzieje że dobrze napisałem zadanie i proszę o pomoc w jego rozwiązaniu pozdrawiam

Wiadomość była modyfikowana 2012-10-07 12:22:03 przez Szymon

tumor
postów: 8070
2012-10-07 12:39:07

$\frac{3x^3-x^2-3x+1}{2-x}>0 \iff (3x^3-x^2-3x+1)(2-x)>0$
$(3x^3-x^2-3x+1)(2-x)=-(x-1)(x+1)(3x-1)(x-2)$

Wykres wielomianu od prawej od dołu, miejsca zerowe jak widać (wszystkie jednokrotne).

Zatem rozwiązanie nierówności to
$(-1,\frac{1}{3})\cup(1,2)$


knapiczek
postów: 112
2012-10-07 16:42:16

Proszę dla mnie o szersze wyjaśnienie tego przykładu. Domyślam się, że należy pomnożyć obie strony przez (2-x)^2 ale z czego to wynika?



tumor
postów: 8070
2012-10-07 16:53:21

Można na to spojrzeć po prostu tak: iloczyn dwóch liczb ma taki znak, jak iloraz dwóch liczb. Jeśli obie są dodatnie, to i ich iloczyn i iloraz są dodatnie. Jeśli obie ujemne, to i iloczyn i iloraz są dodatnie, a jeśli jedna z liczb jest ujemna, a druga dodatnia, to i iloczyn i iloraz są ujemne. Dlatego w nierówności, w której chodzi tylko o ustalenie znaku, tak naprawdę nie ma znaczenia, czy rozpatrujemy iloraz czy iloczyn. Robimy, co nam wygodniej. Różnica pojawiłaby się tylko, gdyby licznik lub mianownik się nam zerował, ale skoro mamy silną nierówność $>$, to przypadki, gdy licznik lub mianownik się zerują i tak są dla nas nieistotne.

Można zaś spojrzeć z nieco innej strony:
Mnożąc nierówność obustronnie przez liczbę zmieniamy znak nierówności, jeśli mnożymy przez liczbę ujemną, a nie zmieniamy, jeśli mnożymy przez dodatnią. Zatem mnożąc tylko przez $(2-x)$ - a to wystarczyłoby w rozwiązaniu równania - nie wiedzielibyśmy, czy to liczba dodatnia czy ujemna i czy należy zmieniać znak nierówności! Nierówność należy rozwiązywać nieco inaczej. Liczba $(2-x)^2$ jest natomiast (przy założeniu $x\neq 2$) z całą pewnością dodatnia, zatem możemy przez nią obustronnie mnożyć nie zmieniając znaku nierówności.

Wiadomość była modyfikowana 2012-10-07 16:54:31 przez tumor

knapiczek
postów: 112
2012-10-07 16:56:08

a w jaki sposób krok po kroku obliczyłeś pierwiastki ?


tumor
postów: 8070
2012-10-07 17:14:23

No, na pewno nie krok po kroku :P
Gdy wielomian się da "na oko" rozłożyć na czynniki, to tak go rozkładam. A czynniki rozłożonego wielomianu albo są liniowe (wtedy znalezienie ich pierwiastka nie jest trudne), albo kwadratowe z ujemną deltą (i nie mają pierwiastków).

Można wyrazy odpowiednio pogrupować, można znaleźć jakiś pierwiastek i podzielić wielomiany. Jak chcesz, u licha. ;)

Jesteśmy w zakładce studia, ale to zadanie jakieś słabe na studia. Nie pytajże mnie o typowe licealne metody.


knapiczek
postów: 112
2012-10-07 17:21:05

Proszę o wyjaśnienie dla studentki biotechnologii, a nie matematyki. Pytamże o typowe licealne metody bo nie zdawałam matmy rozszerzonej, a dodatkowo myślałam że to forum jest dla KAŻDEGO studenta a nie tylko matematyka


agus
postów: 2315
2012-10-08 23:49:05

Zamiast badać znak ilorazu $\frac{a}{b}$>0, możemy zbadć znak iloczynu a$\cdot$b>0

Rozkład na czynniki wielomianu:

$3x^{3}-x^{2}-3x+1$=$x^{2}$(3x-1)-1(3x-1)=
=(3x-1)($x^{2}$-1)=(3x-1)(x-1)(x+1)

2-x=-(x-2)

stąd wielomian ma postać (po rozkładzie na czynniki)

-(x-1)(x+1)(3x-1)(x-2)

miejsca zerowe -1,$\frac{1}{3}$,1,2

Przez miejsca zerowe rysujemy wykres wielomianu, zaczynamy od lewej od dołu (bo dla liczby mniejszej od -1,np. dla -2 wartość wielomianu jest ujemna)

Wykres nad osią (wartość wielomianu większa od zera) będzie dla x z przedziałów zapisanych przez tumora

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 54 drukuj