Algebra, zadanie nr 5260

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-02-01 13:30:03 Mamy dane rownanie L(x)=P(y). 1. Przy podnoszeniu go obustronnie do kwadratu nie musze zakladac, ze te wyrazenia sa nieujemne, bo z rownosci dwoch wyrazen wynika rownosc ich kwadratow (ale ta implikacja jest prawdziwa tylko w jedna strone w druga juz nie; przy zalozeniu nieujemnosci tych wyrazen obustronne podnoszenie do kwadratu jest rownowaznoscia, implikacja jest prawdziwa w obie strony). 2. Przy obustronnym pierwiastkowaniu stopnia parzystego musze zawsze zalozyc nieujemnosc tych wyrazen, zeby mialy one sens liczbowy. 3. Wyrazenie $\frac{1}{0}=x$ nie jest rownaniem, bo $\frac{1}{0}$ nie ma sensu liczbowego. 4. Mamy dane wyrazenia $a^{x} $ i $a^{\frac{m}{n}}$. Sa one okreslone tylko dla $a>0$. Czy to jest poprawne?

tumor postów: 8070	2017-02-01 13:48:14 3. jest ok bez wątpliwości 2. jest ok, gdy rozważasz funkcje rzeczywiste. W zespolonych pierwiastki z każdej liczby zespolonej istnieją. 1. Nie musisz zakładać, że strony są nieujemne, ujemne liczby można przecież do kwadratu podnosić. Jednakże skoro funkcja kwadratowa nie jest różnowartościowa, możesz dostać ostatecznie wyniki, które rozwiązaniami nie są. Gdybyśmy na przykład równanie $x+1=7$ rozwiązywali niepotrzebną metodą przez podniesienie stron do kwadratu, to: $x^2+2x-48=0$ $\Delta=14^2$ $x_1=\frac{12}{2}$ $x_2=\frac{-16}{2}$ - to rozwiązaniem nie jest. Możesz albo pamiętać o tym, że stosujesz funkcję, która nie jest różnowartościowa (nie musi to być kwadratowa, równie dobrze inna nieróżnowartościowa), albo wprowadzić jakieś założenie utrudniające pomyłkę. Tu: strony muszą być oczywiście tego samego znaku. $x_2+1$ nie jest tego samego znaku co 7. 4. Funkcja wykładnicza (rzeczywista) $a^x$ ma dziedzinę $R$ dla $a>0$. Jednakże równie dobrze możemy rozważać funkcję $0^x$ z dziedziną $R_+$ albo funkcję $(-1)^x$ z dziedziną N. Wartość wyrażenia $(-8)^\frac{2}{3}$ chyba także nie jest tajemnicą. Przyjmuje się a>0 dla wygody, gdy rozważamy funkcje wykładnicze, żeby nie dostać czegoś w rodzaju $0^{-3}$ albo $(-3)^\frac{1}{4}$, ale nie oznacza to, że wyrażenia $a^x$ albo $a^\frac{m}{n}$ dla niedodatnich a na pewno nie mają sensu.

geometria postów: 865	2017-02-01 15:19:55 4. W sumie to juz nie wiem jak jest z tymi ujemnymi $a$. W roznych ksiazkach roznie pisze. Czy te wyrazenia maja sens liczbowy? a) $(-8)^{\frac{1}{3}}$; wg mnie tak, bo wyjdzie $-2$ b) $(-8)^{\frac{2}{3}}$; wg mnie tak, bo wyjdzie $4$ c) $(-8)^{\frac{1}{4}}$; wg mnie nie, bo wychodzi, ze pod pierwiastkiem stopnia parzystego jest liczba ujemna, a to z definicji pierwiastka stopnia parzystego nie jest okreslone. 5. Wyjasnij, na czym polegaja bledy w ponizszych rozumowaniach? a) $-2=\sqrt[3]{-8}=(-8)^{\frac{1}{3}}=(-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{64}=2$ b) $\sqrt{(-2)^{2}}$$=$$((-2)^{2})^{\frac{1}{2}}$$=(-2)^{2\frac{1}{2}}=(-2)^{\frac{1}{2}2}=((-2)^{\frac{1}{2}})^{2}=\sqrt{(-2)}^{2}$ c) $4=\sqrt{(-4)^{2}}=((-4)^{2})^{\frac{1}{2}}$$=(-4)^{2\frac{1}{2}}=(-4)^{\frac{1}{2}2}=((-4)^{\frac{1}{2}})^{2}=(\sqrt{-4})^{2}$

tumor postów: 8070	2017-02-01 16:24:27 4. a) czy nie jest podobne do 5. a)? W przypadku $(-8)^\frac{2}{3}$ nie ma znaczenia, jak przedstawimy liczbę wymierną $\frac{2}{3}$ w postaci ilorazu liczb całkowitych. Licznik jest parzysty. Zapis $(-8)^\frac{1}{3}$ już daje inny wynik niż $(-8)^\frac{2}{6}$, wobec tego zaczyna mieć znaczenie, jak przedstawimy jakąś liczbę, czyli nie wiadomo, co by miało być wynikiem. W przypadku b) lepiej jest napisać $\sqrt[3]{(-8)^2}$, bo taka liczba istnieje na pewno, bez angażowania tu rozważań, czy jest ona równa $\sqrt[k3]{(-8)^{k2}}$ Dla potęg wprowadza się pewne wzory (iloczyn potęg o tym samym wykładniku, o tej samej podstawie, potęga potęgi, zapis pierwiastka za pomocą potęgi,...), których dowodzi się dla a>0. Dla a=0 nie możemy jednak napisać $a^1=a^2*a^{-1}$ dla a=-2 nie możemy napisać $a=(a^{\frac{1}{2}})^2$ Czyli: jeśli przyjmiesz $a\ge 0$, coś będzie szwankować. Być może wyniku nie uda się podać, być może przestaną działać wzory. Możesz na to spojrzeć tak, że błąd jest w dopuszczeniu a niedodatniego. Możesz natomiast uznać, że można rozważać $a^x$ czy $a^\frac{m}{n}$ dla pewnych x,m,n, ale utracisz w ten sposób własności dane już w gimnazjum za pomocą wzorów.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj