Algebra, zadanie nr 5289
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
bambinko post贸w: 186 |  2017-02-05 12:09:42rozwiaz rownanie w zbiorze liczb zespolonych: $z^4+4=0$ |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-05 12:17:53 $z^4=-4$ szukamy zatem wszystkich pierwiastk贸w zespolonych czwartego stopnia liczby -4. Wz贸r de Moivre\'a |
bambinko post贸w: 186 | 2017-02-05 12:54:25 $z=\sqrt[4]{-4}$ $|z|=\sqrt{-4}$ gdzie $i^2=-1$ $|z|=\sqrt{4i}$ i co dalej moglabym zrobic? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-05 14:11:11 $|z|=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$ $|z|$ jest liczb膮 rzeczywist膮 nieujemn膮. Je艣li pisz臋 \"wz贸r de Moivre\'a\", to dobrym wyj艣ciem jest wkopiowa膰 to w google i odpowiedni artyku艂 da odpowied藕. Liczb臋 zespolon膮 mo偶emy zapisa膰 w postaci trygonometrycznej $w=|w|*(cos \phi +isin\phi) $ Je艣li podniesiemy t臋 liczb臋 do pot臋gi, otrzymamy $w^4=|w|^4*(cos 4\phi +isin 4\phi)$ Wobec tego je艣li pierwiastkujemy, to dzia艂amy przeciwnie do pot臋gowania. Jednocze艣nie jednak 艂atwo pokaza膰, 偶e liczby zespolone r贸偶ni膮ce si臋 k膮tem (argumentem) o $\frac{2\pi}{n}$ maj膮 t臋 sam膮 n-t膮 pot臋g臋. Je艣li zatem jedn膮 liczb臋 znajdziesz zapisuj膮c $z^4=-4$ w postaci trygonometrycznej $-4=4(-1+i*0)=4(cos\phi+isin \phi)$ (znajd藕 $\phi $ dla kt贸rego cos jest -1, a sin jest 0) i pierwiastkuj膮c $z_1=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi}{4}+isin\frac{\phi}{4})$ to nast臋pne rozwi膮zania r贸偶ni膮 si臋 o k膮t $\frac{2\pi }{4}$ czyli $z_i=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\phi+2k\pi}{4}+isin\frac{\phi+2k\pi}{4})$ dla k=0,1,2,3 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj