Algebra, zadanie nr 5298
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
bambinko post贸w: 186 |  2017-02-05 21:10:09wyznacz ekstrema funkcji $x^2=\sqrt{1-4y}$ Funkcja uwik艂ana: $f(x,y)=x^2-\sqrt{1-4y}$ $\frac{\delta f}{\delta x}=2x$ $\frac{\delta f}{\delta x}$ st膮d $x=0$ $f(x,y)=0$ st膮d $\sqrt{1-4y}=0$ $y=\frac{1}{4}$ $P(0,\frac{1}{4})$ $\frac{\delta f}{\delta y}|P\neq 0$ $\frac{\delta f}{\delta y}=\frac{2}{\sqrt{1-4y}}|P = $ sprzecznosc co robie 藕le? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-05 23:45:14 Pochodna $\frac{dy}{dx}$ liczona ma by膰 ze wzoru $-\frac{\frac{df}{dx}}{\frac{df}{dy}}$ Wobec tego interesuj膮 nas tylko punkty dla kt贸rych licznik si臋 zeruje (st膮d x=0), ale mianownik si臋 nie zeruje. Jednak偶e rozpatrujemy w ten spos贸b tylko punkty, kt贸re nale偶膮 do dziedziny. $y=\frac{1}{4}$ nie nale偶y do dziedziny funkcji $\frac{2}{\sqrt{1-4y}}$ Je艣li funkcja w jakim艣 punkcie nie jest r贸偶niczkowalna, to nie oznacza to braku ekstremum. Najoczywistszym przyk艂adem jest $g(x)=|x|$, kt贸ra wsz臋dzie poza x=0 ma pochodn膮 1 lub -1, a w x=0 nie ma pochodnej wcale. A jednak ma oczywiste ekstremum. Mamy zatem kandydatur臋 punktu i nie mo偶emy go sprawdzi膰 w ten spos贸b pochodnymi. Wracaj膮c do zadania: nie sprawia nam trudno艣ci sprawdzenie na ch艂opski rozum, 偶e dla x=0 warto艣ci膮 y jest $\frac{1}{4}$, a dodanie lub odj臋cie liczby dodatniej (rozumiemy: bliskiej 0) do/od x powoduje, 偶e y si臋 zmniejsza (nie mo偶e si臋 zwi臋kszy膰, bo pod pierwiastkiem by艂aby liczba ujemna, nie mo偶e pozosta膰 sta艂y, bo wtedy $x^2$ musia艂by te偶 pozosta膰 sta艂y) Wobec tego w x=0 jest lokalne maksimum. |
bambinko post贸w: 186 | 2017-02-06 13:09:05 Czyli nie licz臋 w dalszym kroku $J=-\frac{\frac{d^2f}{dx^2}}{\frac{df}{dy}}$ ? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-06 14:53:19 Je艣li masz funkcj臋 $\sqrt{x}$ okre艣lon膮 na przedziale $[0,\infty)$, to jej pochodna $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ jest okre艣lona na przedziale $(0,\infty)$, widzisz r贸偶nic臋 mi臋dzy tymi przedzia艂ami. Dla punktu x=0 nie dostajemy liczby rzeczywistej jako warto艣ci pochodnej, prawda? A inna rzecz: ta funkcja w艂a艣nie w x=0 ma ekstremum. Podobnie jest w przyk艂adzie z zadania. Dostajemy punkt, gdzie $\frac{df}{dy}$ nie jest liczb膮 rzeczywist膮 (bo nie mo偶esz wstawi膰 $y=\frac{1}{4})$. Dlatego liczymy zamiast tego na piechot臋. Czyli korzystamy wprost z definicji (silnego) ekstremum. Funkcja ma w $x_0$ maksimum wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu $x_0$ jest $f(x)<f(x_0)$ Za pomoc膮 pochodnych mo偶na liczy膰 ekstrema, gdy funkcje s膮 r贸偶niczkowalne. W punktach gdzie nie s膮 r贸偶niczkowalne te偶 mo偶emy uzyska膰 ekstremum, ale nie sprawdzimy tego pochodnymi. Mo偶esz oczywi艣cie sprawdza膰 za pomoc膮 rachunku r贸偶niczkowego, ale nieco inaczej. Wystarczy pokaza膰, 偶e dla x nieco wi臋kszych ni偶 0 funkcja jest malej膮ca (czyli liczymy pochodn膮 w punkcie $x=0+\epsilon$ i pokazujemy, 偶e jest ujemna), a dla nieco mniejszych ni偶 0 funkcja jest rosn膮ca (analogicznie). Poniewa偶 w tych punktach istnieje i nie zeruje si臋 $\frac{df}{dy}$, mo偶emy to wykona膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj