Teoria liczb, zadanie nr 5311
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-02-08 23:45:36$1.$ Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych $p$ i $q$, dla kt贸rych spe艂nione jest r贸wnanie $p^{2}-42q^{2}=1$. Mozna przeksztalcic do postaci: $(p-1)(p+1)=2*3*7q^{2}$ Dla $p=2$ mamy: $1*3=2*3*7q^{2}$, czyli $2*7q^{2}=1$, stad $q=\sqrt{\frac{1}{14}}$ a to nie jest liczba pierwsza. W jaki sposob szukac dalej? $2.$ Wyznacz wszystkie pary liczb pierwszych $p$ i $q$, dla kt贸rych liczba $p^{q}+q^{p}$ jest pierwsza. Np. $2^{3}+3^{2}=8+9=17$ jest liczba pierwsza, czyli para $(2,3)$ a czy sa inne pary? Jak miec pewnosc, ze wyznaczylo sie wszystkie? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-09 08:45:23 1. Zauwa偶, 偶e prawa strona Twojego przekszta艂conego r贸wnania dzieli si臋 przez 2,3,7 na pewno. Wobec tego po lewej stronie p-1 lub p+1 musi si臋 dzieli膰 przez 7. Znasz liczb臋 pierwsz膮 p tak膮, 偶eby p-1 lub p+1 dzieli艂y si臋 przez 7? (korzystamy z twierdzenia, 偶e je艣li liczba pierwsza - tu 7 - dzieli iloczyn, to dzieli co najmniej jeden sk艂adnik) 2. Po pierwsze jedn膮 z liczb musi by膰 2 a druga nieparzysta, bo inaczej, co oczywiste, wynik b臋dzie parzysty. Czyli $p^2+2^p$ ma by膰 liczb膮 pierwsz膮, dla 3 ju偶 masz rozwi膮zanie, szukamy p>3. p dzieli si臋 przez 3 daj膮c reszt臋 1 lub 2. Zauwa偶, 偶e nieparzyste pot臋gi liczby 2 daj膮 reszt臋 2 przy dzieleniu przez 3 (dow贸d indukcyjny, 2 daje reszt臋 2, a mno偶enie przez 4, kt贸re ma reszt臋 1, nie zmieni reszty z dzielenia przez 3). Z kolei niezale偶nie od tego, czy liczba p daje reszt臋 1 czy 2 w dzieleniu przez 3, jej kwadrat da reszt臋 1. Suma liczby daj膮cej reszt臋 2 i liczby daj膮cej reszt臋 1 w dzieleniu przez 3 jest podzielna przez 3. |
geometria post贸w: 865 | 2017-02-09 12:14:47 1. Np. dla $p=29, 41, 43$. 2. Czyli sa tylko 2 pary $(2,3)$ i $(3,2)$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-09 12:45:31 1. Zatem p nieparzyste. Zatem lewa strona parzysta (a nawet podzielna przez 4) Zatem q podzielne przez 2 Zatem q r贸wne 2... |
geometria post贸w: 865 | 2017-02-09 13:37:58 1. $p^{2}-42*4=1$ $p^{2}=169$ $p=13$. Odp.: Jest tylko jedna para $(13, 2)$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj