Topologia, zadanie nr 5339
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dyrand post贸w: 4 |  2017-02-16 20:53:30Niech $I(a,b)$ b臋dzie odcinkiem domkni臋tym pomi臋dzy $a,b\in \mathbb{R}^n $ ($(a,b) \in I(a,b)$) Mam poni偶sze dwa zadania, wszystko si臋 dzieje w przestrzeniach z metryka euklidesow膮 (1) Niech $A \subset \mathbb{R}^+$, $B \subset \mathbb{R}^+$ oraz A i B s膮 zwarte pokaza膰 偶e $I(A,B) = \bigcup\{I((a,0),(0,b)): a\in A, b\in B\} \subset \mathbb{R}^2$ jest zwarty (2) $A \subset \mathbb{R}^2$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ oraz f ci膮g艂a niech $X = \bigcup \{I(a,b): b=(0,0,f(a)), a \in A\}$ udowodni膰, 偶e je艣li A jest sp贸jny to X jest sp贸jny. Jak mo偶na pokazywa膰 rzeczy tego typu? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-02-16 22:36:35 przez dyrand |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-16 21:19:38 Mo偶na skorzysta膰 z w艂asno艣ci przestrzeni $R^n$, 偶e zbiory s膮 zwarte wtw s膮 domkni臋te i ograniczone. (1) Chodzi tylko o podzbiory R? Prostej? W takim razie w og贸le nie powinno nastr臋cza膰 trudno艣ci pokazanie, 偶e I(A,B) jest ograniczony. Minimalnie d艂u偶ej potrwa pokazywanie, 偶e jest domkni臋ty, ale to te偶 nie jest trudne. (2) mo偶na skorzysta膰 z faktu, 偶e ci膮g艂y obraz zbioru sp贸jnego jest sp贸jny albo sp贸jno艣膰 pokazywa膰 z innych twierdze艅. Natomiast nie wiem jak mam interpretowa膰, 偶e $a\in R^2, b\in R^3$. |
dyrand post贸w: 4 | 2017-02-16 22:07:03 (1) Czyli np. ograniczeniem jest pude艂ko otwarte $(0, sup A) \times (0, sup B)$ i to le偶y w kuli o promieniu b臋d膮cym max z tych suprem贸w. Ale nie wiem jak z t膮 domkni臋to艣ci膮. W znaczeniu rozumiem, 偶e ten \"zewn臋trzny brzeg\" nale偶y do I(A,B) ale nie wiem, dlaczego nie ma dziur w zbiorze I(A,B) (2) Przesadnie upro艣ci艂em tre艣膰 zadania i spowodowa艂o to pojawienie si臋 b艂臋du. W oryginale by艂o: $A \subset \mathbb{R}^2 \times \{0\}$ i wtedy chyba wszystko jest ok z wymiarami. No ok, A i f(A) s膮 sp贸jne, oraz dla ka偶dego x, jest droga z x do f(x), wi臋c czy wystarczy艂oby pokaza膰, 偶e je艣li mamy jak膮艣 funkcj臋 ci膮g艂膮 $\pi: X \rightarrow {0,1}$ to jest ona funkcj膮 sta艂膮? Czyli zaczynamy od jakiego艣 punktu w dziedzinie i skoro A jest sp贸jny to na ca艂ym A ta funkcja jest sta艂a, na dowolnym z odcink贸w jest sta艂a (bo maj膮 punkt wsp贸lny), wi臋c i na przeciwdziedzinie, i ka偶dym z odcink贸w jest sta艂a (no bo punkty wsp贸lne). W sumie czy X jest 艂ukowo sp贸jny? Edit: Chyba nie, tzn. je艣li A i f(A) nie s膮 艂ukowo sp贸jne to te fragmenty chyba nie s膮 po艂膮czone drog膮 nigdy. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-02-16 22:33:58 przez dyrand |
dyrand post贸w: 4 | 2017-02-16 22:37:05 Poprawi艂em tre艣膰 (1): (1) Niech $A \subset \mathbb{R}^+$, $B \subset \mathbb{R}^+$ oraz A i B s膮 zwarte pokaza膰 偶e $I(A,B) = \bigcup\{I((a,0),(0,b)): a\in A, b\in B\} \subset \mathbb{R}^2$ jest zwarty |
tumor post贸w: 8070 | 2017-02-16 22:56:21 (1) Rzeczywi艣cie pociacha艂e艣 za mocno zadanie, bo si臋 zmieni艂y wymiary przestrzeni. :) Poza tym jednak istnienie dziur nie wp艂ywa nijak na zwarto艣膰. Masz pokaza膰 zwarto艣膰 i ju偶. Ograniczenia pokaza膰 艂atwo. Domkni臋to艣膰 najcz臋艣ciej pokazuje si臋 przez pokazanie otwarto艣ci dope艂nienia: bierzemy punkt z dope艂nienia i pokazujemy, 偶e pewne jego otoczenie te偶 zawiera si臋 w dope艂nieniu. (2) Masz dwa zbiory sp贸jne. A jest sp贸jny w $R^3$, f(A) jest sp贸jny w R, no ale zbi贸r punkt贸w $(0,0,f(a)) a\in A$ jest sp贸jny w $R^3$. Zgadzasz si臋, 偶e je艣li pewna rodzina zbior贸w P nale偶膮cych do $R^n$ ma t臋 w艂asno艣膰, 偶e $Q\in P$ i ka偶dy element P ma niepusty przekr贸j z Q, to suma P jest zbiorem sp贸jnym w $R^n$? Zwracam uwag臋, 偶e w 艣cis艂ym sensie nie ma drogi mi臋dzy x a f(x), tylko mi臋dzy x a (0,0,f(x)). Owszem, wystarczy pokaza膰 sta艂o艣膰 takiej funkcji $\pi$, sensownie. Zgadzam si臋 z pomys艂em, 偶e odpowiednie dobranie A i f daje X, kt贸ry nie musi by膰 sp贸jny 艂ukowo, w przypadku bardziej og贸lnym. Mo偶esz mi poda膰 przyk艂ad zbioru sp贸jnego w R, kt贸ry nie jest 艂ukowo sp贸jny? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-02-17 23:52:03 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj