Topologia, zadanie nr 5346
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dyrand post贸w: 4 |  2017-02-17 15:17:36Tre艣膰 zadania: Niech $A_1, A_2, ...$ - domkni臋te i brzegowe podzbiory p艂aszczyzny euklidesowej $\mathbb{R}^2$, a $L_1, L_2, ...$ - proste na $\mathbb{R}^2$. Pokaza膰, 偶臋 istnieje punkt $x \in \mathbb{R}^2 - A$ (- to r贸偶nica zbior贸w) gdzie $A = \bigcup_{i=1}^n A_i$ taki, 偶e odleg艂o艣膰 (w metr. euklideoswej) x od ka偶dej prostej $L_i$ jest liczb膮 niewymiern膮. (odleg艂o艣膰 punktu od zbioru to inf. odleg艂o艣ci tego punktu od punkt贸w ze zbioru) Wymy艣li艂em jakie艣 rozwi膮zanie (poni偶ej), ale wydaje mi si臋 ono bardzo ma艂o 艣cis艂e, wi臋c je艣li s膮 w nim jakiekolwiek b艂臋dy to prosz臋 o ich wskazanie. No wi臋c wida膰, 偶e jest to zadanie na tw. Baire\'a, trzeba tylko u艂o偶y膰 jakie艣 zbiory domkni臋te i brzegowe. $(\mathbb{R}^2, d_e)$ jest zupe艂na. Okre艣lmy \"z艂e punkty\" jako te, kt贸re spe艂niaj膮 jeden z poni偶szych warunk贸w: (1) $ x\in A_i$ dla jakiego艣 i, (2) lub istnieje takie i, 偶e $d(x, L_i)$ jest wymierna. Zbiory z艂ych punkt贸w typu (1) s膮 domkni臋te i brzegowe z za艂o偶enia, je艣li chodzi o typ (2) to ustalmy $Z_{q,i} = \{x\in X: d(L_i, x) = q\}$. G艂贸wnie chodzi o dok艂adne uzasadnienie tej cze艣ci: [i]Zbiory $Z_{q,i}$ s膮 domkni臋te i brzegowe, gdy偶 ka偶dy taki zbi贸r jest sum膮 dw贸ch prostych (odleg艂ych) od $L_i$ o $q$, a one s膮 domkni臋te (suma sko艅czenie wielu domkni臋tych jest domkni臋ta) oraz brzegowe, no bo maj膮 puste wn臋trze np. dlatego, 偶e s膮 wykresem jakie艣 funkcji.[/i] 艁膮cz膮c wszystko: Niech $Z = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \cup \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} Z_{q,i} $, Z jest wi臋c przeliczaln膮 sum膮 zbior贸w domkni臋tych i brzegowych, wi臋c (Tw. Baire\'a) jest zbiorem brzegowym, wi臋c $ Z $ jest r贸偶ne od $\mathbb{R}^2$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj