Analiza matematyczna, zadanie nr 5363
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-03-06 22:10:54Sprawdz, czy podana funkcja jest rozwiazaniem podanego rownania rozniczkowego, a nastepnie rozwiaz to rownanie rozdzielajac zmienne y oraz t. $y(t)=tgt$, $y\'(t)=1+y(t)^{2}$. L=$y\'(t)=\frac{1}{{cos}^{2}t}$ P=$1+y(t)^{2}=1+tg^{2}t=1+\frac{{sin}^{2}t}{{cos}^{2}t}=\frac{1}{{cos}^{2}t}$ L=P zatem podana funkcja jest rozwiazaniem podanego rownania rozniczkowego. Rownanie o rozdzielonych zmiennych jest postaci y\'(t)=h(t)*g(y(t)). Jaka funkcja jest h(t) i g(y(t)) w tym rownaniu, ktore mam rozwiazac? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-03-07 09:25:31 $y`=1+y^2$ czyli $h(t)=1$ $g(y)=1+y^2$ |
geometria post贸w: 865 | 2017-03-08 00:09:42 Rownanie o zmiennych rozdzielonych jest postaci $y\'(t)=h(t)*g(y(t))$. Niech $g(y(t))\neq 0$ $y\'(t)=h(t)*g(y(t))$$/:$$g(y(t))$ $\frac{y\'(t)}{g(y(t))}=h(t)$$/$ obustronnie calkujemy $\int_{}^{}\frac{y\'(t)}{g(y(t))}dt=\int_{}^{}h(t)dt$ Podstawiajac do calki po lewej stronie: $y(t)=z$, $y\'(t)dt=dz$ mam: $\int_{}^{}\frac{1}{g(z)}dz=\int_{}^{}h(t)dt$ Czy to jest zgodne z prawda? A co dla $g(y(t))=0$? |
geometria post贸w: 865 | 2017-03-08 20:51:07 Wracajac do wczesniejszego rownania. Bede pisac $y(t)$, bo tak mi latwiej zobaczyc. $y\'(t)=1+$$y^{2}(t)$$/:$ ($1+y^{2}(t)$);$1+y^{2}(t)>0$ $\frac{y\'(t)}{1+y^{2}(t)}$=1, calkujac obustronnie mam $\int_{}^{}\frac{y\'(t)}{1+y^{2}(t)}dt=\int_{}^{}1dt$ Po odpowiednich podstawieniach mam: a$rctg(y(t))=t+C$, $C\in R$ Zatem $y(t)=tg(t+C)$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-03-08 20:58:43 Zamiast pisa膰 $y`(t)dt$ mo偶esz pisa膰 po prostu $dy$ $\int \frac{dy}{1+y^2}=\int 1dt$ |
geometria post贸w: 865 | 2017-03-10 13:21:50 Mam rownanie $y\'(t)^{2}=1-y(t)^{2}$. $1-y(t)^{2}\ge 0 \iff -1\le y(t)\le 1$. $y\'(t)^{2}=1-y(t)^{2}$ $/\sqrt{}$ $|y\'(t)|=\sqrt{1-y(t)^{2}}$ $1^{\circ}$ $y\'(t)=-\sqrt{1-y(t)^{2}} \vee 2^{\circ} y(t)=\sqrt{1-y(t)^{2}}$ Sa to rownania o zmiennych rozdzielonych, gdzie $h(t)=1$, $g(y(t))=-\sqrt{1-y(t)^{2}}$ oraz $h(t)=1$, $g(y(t))=\sqrt{1-y(t)^{2}}$. Niech $g(y(t))\neq 0$, czyli $y(t)\in (-1,1)$. Wowczas po podzieleniu przez g(y(t)) i obustronnym scalkowaniu mam: $1^{\circ}$ $arccos(y(t))=t+C$, $C\in R$ oraz $-C<t<\pi-C$,czyli $y(t)=cos(t+C)$ $2^{\circ}$ $arcsin(y(t))=t+C$, $C\in R$ oraz $-\frac{\pi}{2}-C<t<\frac{\pi}{2}-C$,czyli $y(t)=sin(t+C)$ Dla $g(y(t))=0$, czyli $y(t)=-1$ i $y(t)=1$ wyjsciowe rownanie jest spelnione, zatem sa to rowniez rozwiazania tego rownania. Ostatecznie rozwiazaniem wyjsciowego rownania jest: $y(t)=sin(t+C)$ $\vee$ $y(t)=cos(t+C)$ $\vee$ $y(t)=-1$ $\vee$ $y(t)=1$. Mam nadzieje, ze dobrze. --------------------------------------------------------- Gdybym przyjal, ze $h(t)=-1$, to wyszloby $y(t)=sin(-t+C)$ (bo po prawej stronie zostalaby funkcja $h(t)$, czyli po prawej stronie byloby $-1$ i calka z tego wyszlaby $-t+C$ i wtedy byloby, ze $y(t)=sin(-t+C)$, $y(t)=sin(t+C)$). |
geometria post贸w: 865 | 2017-03-12 10:08:45 Gdybym przyjal, ze $h(t)=-1$, to $\int_{}^{}-1dt=-\int_{}^{}1dt=-(t+C)=-t-C$, $C\in R$. Wowczas $y(t)=sin(-t-C)=sin(-(t+C))=-sin(t+C)$. Zatem jest jeszcze jedno rozwiazanie $y(t)=-sin(t+C)$. I to juz chyba wszystkie beda prawda? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-03-12 20:50:38 W gimnazjum rozwi膮zuje si臋 r贸wnania, gdy wynikiem ma by膰 liczba. Tutaj rozwi膮zujesz r贸wnanie, a wynikiem ma by膰 funkcja. Je艣li funkcja przyjmuje czasem warto艣膰 0 (jak ten pierwiastek wy偶ej albo jak sinus), to oczywi艣cie nie mo偶emy przez ni膮 dowolnie dzieli膰, ale mo偶emy rozpatrywa膰 przedzia艂y, w kt贸rych ta funkcja jest niezerowa. M贸wimy dalej o funkcji okre艣lonej na przedziale. Gdy piszesz h(t)=-1, to co masz na my艣li? a) mo偶esz mie膰 na my艣li funkcj臋, kt贸ra jest stale r贸wna -1. b) mo偶esz mie膰 na my艣li, 偶e dla jakiego艣 pojedynczego t ta funkcja si臋 zeruje. Dla funkcji okre艣lonej tylko w jednym punkcie nie liczyliby艣my pochodnej, prawda? Pochodn膮 liczymy, gdy funkcja jest okre艣lona w pewnym otoczeniu punktu. --- Natomiast na oko rozwi膮zaniami r贸wnania $(y`)^2=1-y^2$ s膮 $sin(t+C), -sin(t+C), cos(t+C), -cos(t+C), 1, -1$ (dwie ostatnie to funkcje sta艂e) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj