logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5367

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2017-03-09 12:54:51

Chory student wrócił do kampusu, w którym mieszka 1000 studentów łącznie z nim. Szybkość z jaką wirus się rozprzestrzenia jest proporcjonalna do iloczynu zarażonych studentów i liczby niezarażonych studentów. Ile zarażonych będzie po 6 dniach, jeśli po 4 było ich 50?

To robię tak:
$x(t)$- liczba zarażonych

$x'(t)=ax(t)(1000-x(t))$
Rozwiązuje równanie:

$\frac{dx}{dt}=ax(t)(1000-x(t))$
$\int_\frac{dx}{x(1000-x)}=\int adt=at+C$
Lewa całka równa się:
$\frac{1}{1000}ln\frac{x}{1000-x}$

Czyli ostatecznie dostaje:
$\frac{1}{1000}ln\frac{x}{1000-x}=at+C$

Wiemy, że $x(4)=50, x(0)=1$ i szukamy $x(6)$?

Z warunku $x(0)=1$ dostajemy: $ln\frac{1}{999}=1000C$
$1000C=-ln999$

Teraz $x(4)=50$
$ln\frac{50}{950}=1000*4a-ln999$
$ln\frac{1}{19}=1000*4a-ln999$
$\frac{ln\frac{999}{19}}{4}=1000a$

Czyli ostatecznie równanie ma postać: $ln\frac{x}{1000-x}=\frac{ln\frac{999}{19}}{4}*t-ln999$

Podstawiając t=6 dostajemy bzdurę. Gdzie popełniłem błąd?


tumor
postów: 8070
2017-03-09 14:05:35

A możesz mi powiedzieć, jaką bzdurę dostajemy dla t=6?


tomek987
postów: 103
2017-03-09 14:16:45

Coś źle z logarytmami liczyłem, nie wiem czemu. Czy odpowiedź to ok. 276?

Wiadomość była modyfikowana 2017-03-09 15:06:02 przez tomek987

tumor
postów: 8070
2017-03-10 01:54:46

Tak mi wyszło przy dość pobieżnych obliczeniach (wobec tego z wielkim ryzykiem błędu rachunkowego).

Zasadniczo nie ma szczególnych trudności w wyrażeniu wprost funkcji x(t), a wtedy może wygodniej się liczy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 100 drukuj