logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Probabilistyka, zadanie nr 5372

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

brightnesss
postów: 113
2017-03-11 17:27:07

10% powierzchni sfery pomalowane na niebiesko, a resztę na czerwono. Pokazać, że niezależnie od sposobu w jaki kolory są rozłożone na sferze, można wpisać w te sferę sześcian tak, że wszystkie jego wierzchołki są czerwone.


tumor
postów: 8070
2017-03-11 22:19:29

Intuicyjnie, jeśli byśmy mieli wszystkie możliwe sześciany, w których co najmniej 1 wierzchołek jest niebieski, to 1/8 wszystkich wierzchołków (lub więcej) byłaby w niebieskim kolorze, a to przecież więcej niż 10%.
Zapis formalny będzie nieco bardziej skomplikowany z uwagi na kłopoty z niemierzalnością niektórych zbiorów.

Jeśli przyjmujemy miarę Lebesgue'a (albo inną zgodną z objętością i niezmienniczą ze względu na przesunięcia), to możemy uznawać, że gdy rozważamy wszelkie możliwe sześciany i zakładamy, że jeden wierzchołek mają niebieski, to ten niebieski wypada w pewnej z góry zadanej 1/8 sfery. Nie przejmując się, co się dzieje na reszcie sfery pokazujemy, że część niebieska zawiera w sobie na pewno zbiór mierzalny o mierze większej niż 10% miary sfery.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 148 drukuj