Inne, zadanie nr 539
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
aaakuuus02 post贸w: 19 |  2012-10-13 23:41:16Okre艣li膰, kt贸re z poni偶szych funkcji s膮 okresowe i wyznaczy膰 ich okres : 1) f(x)= 5cos7x 2) f(x)= $cos^{2}$ 2x 3) f(x)= sin $ x^{2}$ 4) f(x)= cos x + sin ($\sqrt{3}$x) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-14 08:29:18 1) $cos x$ jest okresowa o okresie podstawowym $2\pi$ $5 cos x$ rozci膮ga funkcj臋 w pionie, czyli wci膮偶 okresowa i wci膮偶 $2\pi$ $5 cos 7x$ zw臋偶a funkcj臋 w poziomie, czyli okres zmaleje siedem razy $T=\frac{2}{7}\pi$ Mo偶na sprawdzi膰 $5 cos 7(x+\frac{2}{7}\pi)=5(cos7x cos2\pi-sin7x sin2\pi)=5cos7x$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-14 08:56:33 2) kwadrat funkcji okresowej na pewno b臋dzie okresowy, tylko okres si臋 nam mo偶e zmniejszy膰. Zauwa偶my, 偶e $cos4x$ jest okresowa o okresie $\frac{\pi}{2}$ $cos4x=2cos^22x-1$ Przesuni臋cie $-1$ nie zmienia okresowo艣ci, pomno偶enie ca艂o艣ci przez niezerow膮 sta艂膮 nie zmienia okresowo艣ci, zatem okres podstawowy $\frac{\pi}{2}$ $cos^22(x+\frac{\pi}{2})=cos^2(2x+\pi)=(cos2xcos\pi+sin2xsin\pi)^2=(-cos2x)^2=cos^22x$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-14 09:06:27 3) $f(x)=sinx^2$ Nie jest okresowa. 呕eby to sprawdzi膰 poka偶emy sobie, 偶e miejsca zerowe ma nieokresowo. sin $x$ ma miejsca zerowe $x=k\pi, k\in Z$ sin $x^2$ ma miejsca zerowe $x^2=k\pi, k\in Z$, czyli $x=\pm \sqrt{n\pi}, n\in N$. Funkcja $\sqrt{n}$ jest rosn膮ca i wkl臋s艂a, czyli w miar臋 oddalania si臋 od $0$ miejsca zerowe $f(x)$ s膮 coraz g臋艣ciej, nieokresowo. |
aaakuuus02 post贸w: 19 | 2012-10-14 13:00:16 dzi臋kuje :) a mog艂abym prosi膰 o przyk艂ad 4 ? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-07-21 10:30:47 4) $f(x)= cosx+sin (\sqrt{3}x)$ Za艂贸偶my, 偶e $f$ jest okresowa o okresie $T$. W贸wczas, skoro $f$ jest r贸偶niczkowalna w $R$, to $f`$ r贸wnie偶 by艂aby okresowa o okresie $T$. Podobnie z dalszymi pochodnymi. Policzymy sobie $g(x)=f^{(4)}(x)=cosx+9sin(\sqrt{3}x)$ r贸偶nica tych dw贸ch funkcji to $h(x)=g(x)-f(x)=8sin(\sqrt{3}x)$ funkcja $h$ oczywi艣cie jest okresowa o okresie podstawowym $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$, ale jako r贸偶nica funkcji okresowych o okresie $T$ sama te偶 musi by膰 okresowa o okresie $T$. St膮d $T$ by艂by postaci $T=\frac{2k\pi}{\sqrt{3}}$ dla pewnego $k$ naturalnego dodatniego. Takie $T$ jest okresem funkcji $sin(\sqrt{3}x)$, za艂o偶yli艣my ponadto, 偶e jest to okres funkcji $f$, czyli powinien to by膰 tak偶e okres funkcji $f(x)-sin(\sqrt{3}x)=cosx$, natomiast dla 偶adnego $k$ naturalnego dodatniego liczba $T=\frac{2k\pi}{\sqrt{3}}$ nie jest okresem funkcji $cosx$. Ta sprzeczno艣膰 wynika z faktu, 偶e b艂臋dne musia艂o by膰 nasze pocz膮tkowe za艂o偶enie. Czyli $f$ nie ma okresu $T$. A 偶e $T$ wybrali艣my dowolnie, to $f$ nie jest okresowa. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj