logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 540

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aaakuuus02
postów: 19
2012-10-14 11:27:59

Określić, które z poniższych funkcji mają funkcje odwrotne, znaleźć te funkcje odwrotne i wyznaczyć ich naturalne dziedziny :

1) y= ax+b
2) y= $(x-1)^{3}$
3) y= cos3x
4) y= ln2x
5) y= 2$\frac{x}{2}$
6) y= $\frac{1-x}{1+x}$
7) y= $x^{2}$ +1


tumor
postów: 8085
2012-10-14 12:57:00

1. Jeśli $a\neq 0$ to $f(x)=ax+b$ jest bijekcją $R$ na $R$, ma funkcję odwrotną.
$y=ax+b$
$y-b=ax$
$x=\frac{y-b}{a}$

$f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$
Dziedzina $R$



tumor
postów: 8085
2012-10-14 12:59:29

2) $f(x)=y= (x-1)^3$ jest bijekcją $R$ na $R$

$\sqrt[3]{y}=x-1$
$\sqrt[3]{y}+1=x$

$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}+1$
Dziedzina $R$


tumor
postów: 8085
2012-10-14 13:04:26

3) $f(x)=y= cos3x$ jest bijekcją z $[0,\frac{\pi}{3}]$ na $[-1,1]$ (dziedzinę można zmienić, ja wybrałem standardowo. Trzeba wybrać kawałek, na którym $f$ jest bijekcją)

$arccos y = 3x$
$\frac{arccos y}{3}=x$

$f^{-1}(x)=\frac{arccos x}{3}$
Dziedzina $[-1,1]$


tumor
postów: 8085
2012-10-14 13:06:46

4) $ f(x)=y= ln2x$ jest bijekcją $R_+$ na $R$

$y=ln2x$
$e^y=2x$
$\frac{e^y}{2}=x$

$f^{-1}(x)=\frac{e^x}{2}$
Dziedzina $R$


tumor
postów: 8085
2012-10-14 13:08:29

5) literówka?
$f(x)=y=2\frac{x}{2}=x$

Odwrotnością $y=x$ jest ta sama funkcja $y=x$, dziedzina $R$


tumor
postów: 8085
2012-10-14 13:18:14

6) $f(x)=y=\frac{1-x}{1+x}=\frac{2-1-x}{1+x}=\frac{2}{x+1}-1$

$f$ jest bijekcją z $R\backslash\{-1\}$ na $R\backslash\{-1\}$

$y=\frac{2}{x+1}-1$
$y+1=\frac{2}{x+1}$
$x+1=\frac{2}{y+1}$
$x=\frac{2}{y+1}-1$

$f^{-1}(x)=\frac{1-x}{1+x}$
Dziedzina $R\backslash\{-1\}$


tumor
postów: 8085
2012-10-14 13:21:46

7) $y= x^2+1$ nie jest bijekcją w całej dziedzinie, ale jest bijekcją z $[0,\infty]$ na $[1,\infty]$.

$y= x^2+1$
$y-1=x^2$
$\sqrt{y-1}=x$

$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$
Dziedzina $[1,\infty]$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 38 drukuj