logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 541

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aaakuuus02
postów: 19
2012-10-14 13:55:07

Znaleźć funkcję odwrotną i jej dziedzinę, jeśli wyjściowa funkcja jest określona na wskazanym przedziale :

1. y=$x^{2}$ - 1
a) x $\in$ ) -$\infty$, -$\frac{1}{2}$ ( ,
b) x $\in$ ( $\frac{1}{2}$ , + $\infty$ ) ,

2. y=sin x
a) x $\in$ ( -$\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ ) ,
b) x $\in$ ( $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{3\pi}{2}$)

3. y= $\left\{\begin{matrix} x \\ 2x \end{matrix}\right.$
przy x -> x $\in$ (-$\infty$ , 0 )
przy 2x -> x $\in$ (0, $\infty$ )

4. y= $cos^{2}$x
a) x $\in$ ( 0,$\frac{\pi}{2}$ )
b) x $\in$ ( $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ )
c) x $\in$ ( $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ )


nawiasy kwadratowe są wszędzie, oprócz w przykładzie 3 przy nieskończonościach i drugim 0.




tumor
postów: 8085
2012-10-14 14:13:33

Przy enterze masz nawiasy kwadratowe i możesz ich używać. ;) Nie możesz?

Jeśli chcesz wstawić we wzorze (na przykład przy klamrze) tekst, możesz dać \mbox{ tekst }.

1. $f(x)=x^2-1$
a) $(-\infty,\frac{-1}{2}]$
Zbiór wartości to $[\frac{-3}{4},\infty)$

$y=x^2-1$
$y+1=x^2$
$-\sqrt{y+1}=x$

$f^{-1}(x)=-\sqrt{x+1}$
dziedzina $[\frac{-3}{4},\infty)$

b) $[\frac{1}{2}, \infty]$
Zbiór wartości to $[\frac{-3}{4},\infty)$

$y=x^2-1$
$y+1=x^2$
$\sqrt{y+1}=x$

$f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}$
dziedzina $[\frac{-3}{4},\infty)$


aaakuuus02
postów: 19
2012-10-14 14:17:07

nie mogę, bo wtedy mi to koliduje z tymi funkcjami $


tumor
postów: 8085
2012-10-14 14:23:58

Dziwne dziwne. A nawiasów < > też nie możesz używać? :) Wszystko lepsze od pisania słownie, że nawiasy otwarte są domknięte :P.

2. $y=sin x $

a) $[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
Zbiór wartości $[-1,1]$

$x=arcsin y$

$f^{-1}(x)=arcsin x$
dziedzina $[-1,1]$

b)$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$

Zbiór wartości $[-1,1]$

Zauważmy, że $sin x= sin(\pi-x)$, dla $x\in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ mamy $\pi-x \in[\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$

$sin(\pi-x)=y$
$\pi-x=arcsin y$
$x=\pi - arcsin y$

$f^{-1}(x)=\pi - arcsin x$
dziedzina $[-1,1]$


tumor
postów: 8085
2012-10-14 14:30:35

3. $f(x)=\left\{\begin{matrix} x && \mbox{ dla }x\in(-\infty,0]\\ 2x && \mbox{ dla }x\in(0,\infty)\end{matrix}\right.$

Zauważmy, że obrazy mają postać

$f((-\infty,0])=(-\infty,0]$
$f((0,\infty))=(0,\infty)$

dla $g(x)=x$ funkcja odwrotna ma postać $g^{-1}(x)=x$
dla $h(x)=2x$ funkcja odwrotna ma postać $h^{-1}(x)=\frac{1}{2}x$

$f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} x && \mbox{ dla }x\in(-\infty,0]\\ \frac{1}{2}x && \mbox{ dla }x\in(0,\infty)\end{matrix}\right.$

Dziedziną jest R.


tumor
postów: 8085
2012-10-14 14:47:20

4. $f(x)=cos^2x$

a) $x\in [0,\frac{\pi}{2}]$
Zbiór wartości $[0,1]$

$y=cos^2x$
$\sqrt{y}=cosx$
$x=arccos\sqrt{y}$

$f^{-1}(x)=arccos\sqrt{x}$
dziedzina $[0,1]$

b) $x\in [\frac{\pi}{2},\pi]$
Zbiór wartości $[0,1]$

$y=cos^2x$
$-\sqrt{y}=cosx$
$x=arccos(-\sqrt{y})$

$f^{-1}(x)=arccos(-\sqrt{x})$
dziedzina $[0,1]$

c) $x\in [\pi,\frac{3\pi}{2}]$
Zbiór wartości $[0,1]$

Mamy $cosx=-cos(\pi-x)=-cos(x-\pi)$ oraz $x-\pi \in[0,\frac{\pi}{2}]$

$y=cos^2(x-\pi)$
$\sqrt{y}=cos(x-\pi)$
$x-\pi=arccos(\sqrt{y})$
$x=arccos(\sqrt{y})+\pi$

$f^{-1}(x)=arccos(\sqrt{x})+\pi$
dziedzina $[0,1]$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 32 drukuj