Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5424
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| jack1992 postów: 2 |  2017-04-05 20:42:16 |
| jack1992 postów: 2 | 2017-04-05 20:45:52 wyznaczyc rozwiazania ogolne równan rozniczkowych 1) dy/dx+3y=e^(7x) 2) dy/dx+2y=x^2-x-1 3) dy/dx+y=2xsinx 4) y"-4y'+4y=4x 5) y"+y=e^x |
| tumor postów: 8070 | 2017-04-06 09:41:29 Pierwsze trzy to równania liniowe pierwszego rzędu niejednorodne. Zrobię 3) $y`+y=2xsinx$ Rozwiązujemy równanie jednorodne $y`+y=0$ $\frac{y`}{y}=-1$ $\frac{dy}{y}=-dx$ całkujemy $ln|y|=-x+c_1$ $y=c_2e^{-x}$ Dla rozwiązania równania niejednorodnego zastosujemy metodę uzmienniania stałej $c_2$, czyli potraktujemy ją jako funkcję $c_2(x)$ $y=c_2(x)e^{-x}$ $y`=c_2`(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x}$ co podstawiamy do wyjściowego równania $c_2`(x)e^{-x}=2xsinx$ $c_2`(x)=2xe^xsinx$ co całkujemy przez części i wstawiamy do rozwiązania równania jednorodnego |
| tumor postów: 8070 | 2017-04-06 09:52:33 Dwa ostatnie zadania to równania rzędu drugiego, ale metoda rozwiązania jest podobna. 4) równanie jednorodne y``-4y`+4y=0 rozwiązujemy znajdując pierwiastki równania charakterystycznego $a^2-4a+4=0$ rozwiązaniem jest podwójny pierwiastek rzeczywisty 2 W takim przypadku (o czym mówi odpowiednie twierdzenie) rozwiązaniem równania jednorodnego jest $c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}$ Stosujemy metodę uzmienniania stałych: dla znalezienia funkcji $c_1`,c_2`$ (a potem $c_1, c_2$) rozwiązujemy układ równań $\left[\begin{matrix} e^{2x} & xe^{2x} \\ (e^{2x})` & (xe^{2x})` \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} c_1` \\ c_2` \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0 \\ 4x \end{matrix}\right]$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj