logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5424

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jack1992
postów: 2
2017-04-05 20:42:16




jack1992
postów: 2
2017-04-05 20:45:52

wyznaczyc rozwiazania ogolne równan rozniczkowych
1) dy/dx+3y=e^(7x)
2) dy/dx+2y=x^2-x-1
3) dy/dx+y=2xsinx
4) y"-4y'+4y=4x
5) y"+y=e^x


tumor
postów: 8070
2017-04-06 09:41:29

Pierwsze trzy to równania liniowe pierwszego rzędu niejednorodne.
Zrobię

3) $y`+y=2xsinx$

Rozwiązujemy równanie jednorodne
$y`+y=0$
$\frac{y`}{y}=-1$
$\frac{dy}{y}=-dx$
całkujemy
$ln|y|=-x+c_1$
$y=c_2e^{-x}$

Dla rozwiązania równania niejednorodnego zastosujemy metodę uzmienniania stałej $c_2$, czyli potraktujemy ją jako funkcję $c_2(x)$

$y=c_2(x)e^{-x}$
$y`=c_2`(x)e^{-x}-c_2(x)e^{-x}$
co podstawiamy do wyjściowego równania
$c_2`(x)e^{-x}=2xsinx$
$c_2`(x)=2xe^xsinx$
co całkujemy przez części i wstawiamy do rozwiązania równania jednorodnego


tumor
postów: 8070
2017-04-06 09:52:33

Dwa ostatnie zadania to równania rzędu drugiego, ale metoda rozwiązania jest podobna.

4)
równanie jednorodne
y``-4y`+4y=0
rozwiązujemy znajdując pierwiastki równania charakterystycznego
$a^2-4a+4=0$
rozwiązaniem jest podwójny pierwiastek rzeczywisty 2

W takim przypadku (o czym mówi odpowiednie twierdzenie)
rozwiązaniem równania jednorodnego jest $c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}$

Stosujemy metodę uzmienniania stałych:
dla znalezienia funkcji $c_1`,c_2`$ (a potem $c_1, c_2$)
rozwiązujemy układ równań
$\left[\begin{matrix} e^{2x} & xe^{2x} \\ (e^{2x})` & (xe^{2x})` \end{matrix}\right]*
\left[\begin{matrix} c_1` \\ c_2` \end{matrix}\right]=
\left[\begin{matrix} 0 \\ 4x \end{matrix}\right]$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj