logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 5430

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

tomek987
postów: 103
2017-04-09 13:19:49

Udowodnij, że dla danej macierzy nieosobliwej $A\in R^{n,n}$ rozkład ortogonalno-trójkątny jest jednoznaczny z dokładnością do znaku. Czyli jeśli $A=Q_{1}R_{1}=Q_{2}R_{2}$ to $Q_{2}=+/- Q_{1}$


tumor
postów: 8070
2017-04-14 16:04:48

W ogóle od czego masz internet? Nie możesz jakiegoś forum se znaleźć, gdzie Ci napiszą?

Mamy
$Q_1R_1=Q_2R_2$
czyli
$R_1(R_2)^{-1}=(Q_1)^{-1}Q_2$
prawa strona jest ortogonalna, lewa górna trójkątna, wobec tego i lewa i prawa strona są diagonalne.
Wobec tego na przekątnej są elementy 1 lub -1
Niech zatem $M=R_1(R_2)^{-1}$ będzie macierzą diagonalną o elementach 1 lub -1 na przekątnej.
$Q_1M=Q_2$ i macierze $Q_1,Q_2$ ortogonalne. Stąd..


tomek987
postów: 103
2017-04-15 22:38:20

A skąd wiemy, że na przekątnej są elementy 1 lub -1.

Dziękuję bardzo za rozwiązanie :)


tumor
postów: 8070
2017-04-15 23:39:52

Bo macierz ortogonalna ma kolumny-wektory tworzące bazę ortonormalną, czyli o normie 1. Jeśli wektor ma tylko jedną niezerową współrzędną i normę 1, to na tej współrzędnej ma 1 lub -1.


tomek987
postów: 103
2017-04-16 13:48:08

Jasne, rozumiem.

Jeszcze raz bardzo dziękuję :) i przepraszam za problemy

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj