logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5443

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-04-26 12:51:16

Rozwazmy nastepujacy układ równan rózniczkowych ${x' \choose y'}$$=$$\begin{bmatrix} \beta&\alpha\\\alpha&\beta\end{bmatrix}$${x \choose y}$

a) zbadac stabilnosc dla par: $\alpha=1$ i $\beta=0$, $\alpha=0$ i $\beta=1$ oraz $\alpha=0$ i $\beta=-1$


geometria
postów: 863
2017-04-28 21:16:28

Jakie sa kryteria stabilnosci?


geometria
postów: 863
2017-05-05 08:58:29

$1.$ Sformułowac twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilnosci oraz zastosowac je do powyzszego przykładu.

Twierdzenie Lapunowa o asymptotycznej stabilnosci:

Rozwiazanie $x_{0}$ jest asymptotycznie stabilne dla rownania $x'=f(x)$ jesli wartosci wlasne macierzy
$f'(x_{0})$ maja ujemne czesci rzeczywiste. Gdy ktoras z wartosci wlasnych macierzy $f'(x_{0})$ ma
dodatnia czesc rzeczywista to $x_{0} $ jest niestabilne (w sensie Lapunowa).

Jak je tu zastosowac? Czym jest f$(x)$?

$2.$ Zbadac stabilnosc dla $\alpha=\beta=-1$ korzystajac z funkcji Lapunowa.
Funkcja Lapunowa:
Funkcja Lapunowa dla rownania $x'=f(x)$ nazywamy funkcje $V$ spelniajaca warunki:
1) $V(x)\ge 0$
2) $V (x) = 0$ wtedy i tylko wtedy gdy $x = 0$;
3) $\nabla\bigcirc Vf\le 0.$

${x' \choose y'}$=$\begin{bmatrix} -1&-1\\-1&-1\end{bmatrix}$${x \choose y}$=$\begin{bmatrix} -x&-y\\-x&-y\end{bmatrix}$, czyli uklad równan $\left\{\begin{matrix} x'=-x-y \\ y'=-x-y \end{matrix}\right.$

Czym jest tutaj f(x)? Jak skorzystac z tej funkcji Lapunowa?


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj