logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5460

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-05-18 17:32:01

Rozwazmy nastepujacy układ równan rózniczkowych $\begin{bmatrix} x'\\y'\end{bmatrix}$$=$$\begin{bmatrix} \beta&\alpha\\\alpha&\beta\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}$
Znalezc $exp(At)g$ dla $\alpha=0$ i $\beta=1$, gdzie $g = (1, 0)$.

$exp(At)g$$=$e$^{(At)}g$
A jak dalej obliczyc?

Wiadomość była modyfikowana 2017-05-22 17:10:05 przez geometria

geometria
postów: 863
2017-05-22 18:17:22

$A=\begin{bmatrix} \beta&\alpha\\\alpha&\beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}$. Jest to macierz diagonalna.

$g=(1, 0)=\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}$

$e^{t}=$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n}}{n!}$


$e^{At}=$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(At)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\begin{bmatrix} \frac{t^{n}}{n!}&0\\0&\frac{t^{n}}{n!}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sum_{n=0}^{\infty}\frac {t^{n}}{n!}&0\\0& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} e^{t}&0\\0&e^{t}\end{bmatrix}$

Zatem $e^{At}g=\begin{bmatrix} e^{t}&0\\0&e^{t}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{t}\\0\end{bmatrix}$.

Dobrze?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj