Inne, zadanie nr 547

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
easyrider85 postów: 48	2012-10-16 19:12:02 rozwiazac w zbiorze liczb zespolonych rownania: 1) (z^4+16)(z^2+z+4)=0 2) z^3=i 3) z^2+2z +\frac{1}{4} - i 4) z^4=1

tumor postów: 8070	2012-10-16 19:27:48 4) Wiemy, że rozwiązania będą cztery. Dwa to $-1$ oraz $1$, a jeszcze wypada pamiętać, jak się graficznie rozkładają pierwiastki z liczb zespolonych (kolejne uzyskuje się obracając poprzednie o pewien kąt), wtedy dostajemy pozostałe $i$ oraz $-i$

tumor postów: 8070	2012-10-16 19:36:41 2) $z^3=i$ Nie korzystając jeszcze z zaawansowanych metod możemy jeden na oko trafić, $z_1=-i$ Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci trygonometrycznej $z=\|z\|(cos\phi+isin\phi)$, mamy $z_1=cos\frac{3}{2}\pi+isin\frac{3}{2}\pi$ Pozostałe pierwiastki różnią się tylko kątem (o $120^\circ$, czyli $\frac{2}{3}\pi$, w jedną lub w drugą stronę) $z_2=cos\frac{1}{6}\pi+isin\frac{1}{6}\pi$ $z_3=cos\frac{5}{6}\pi+isin\frac{5}{6}\pi$ a że odpowiednie sinusy czy cosinusy mamy w tabelkach albo znamy wzory redukcyjne, możemy wrócić na zapis $a+bi$, jeśli ktoś tego potrzebuje.

tumor postów: 8070	2012-10-16 19:57:18 1) $(z^4+16)(z^2+z+4)=0$ $z^4+16=0$ $z^4=-16$ $z^2=4i$ lub $z^2=-4i$ $z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ $z_2=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ $z_3=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ $z_4=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ Te pierwiastki wyżej można z de Moivre'a, jeśli oczami nie widać. :) $z^2+z+4=0$ $delta=-15$ $z_5=\frac{-1-i\sqrt{15}}{2}$ $z_6=\frac{-1+i\sqrt{15}}{2}$

tumor postów: 8070	2012-10-16 20:35:22 3) $z^2+2z +\frac{1}{4} - i=0$ $(z^2+z+1)-\frac{3}{4}-i=0$ $(z+1)^2-(\frac{\sqrt{3+4i}}{2})^2=0$ $(z+1+\frac{\sqrt{3+4i}}{2})(z+1-\frac{\sqrt{3+4i}}{2})=0$ $z_1=-1-\frac{\sqrt{3+4i}}{2}$ $z_2=-1+\frac{\sqrt{3+4i}}{2}$ Albo inaczej z delty, to samo będzie. Tego pierwiastka mi się liczyć nie chce, ale się da. Przy braku lepszego pomysłu szukamy układem równań liczby zespolonej $a+bi$, która do kwadratu daje to, co tam pod pierwiastkiem siedzi. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj