logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 547

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

easyrider85
postów: 48
2012-10-16 19:12:02

rozwiazac w zbiorze liczb zespolonych rownania:
1) (z^4+16)(z^2+z+4)=0
2) z^3=i
3) z^2+2z +\frac{1}{4} - i
4) z^4=1


tumor
postów: 8085
2012-10-16 19:27:48

4)
Wiemy, że rozwiązania będą cztery.
Dwa to $-1$ oraz $1$, a jeszcze wypada pamiętać, jak się graficznie rozkładają pierwiastki z liczb zespolonych (kolejne uzyskuje się obracając poprzednie o pewien kąt), wtedy dostajemy pozostałe $i$ oraz $-i$


tumor
postów: 8085
2012-10-16 19:36:41

2)
$z^3=i$

Nie korzystając jeszcze z zaawansowanych metod możemy jeden na oko trafić, $z_1=-i$

Liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci trygonometrycznej
$z=|z|(cos\phi+isin\phi)$, mamy $z_1=cos\frac{3}{2}\pi+isin\frac{3}{2}\pi$

Pozostałe pierwiastki różnią się tylko kątem (o $120^\circ$, czyli $\frac{2}{3}\pi$, w jedną lub w drugą stronę)

$z_2=cos\frac{1}{6}\pi+isin\frac{1}{6}\pi$
$z_3=cos\frac{5}{6}\pi+isin\frac{5}{6}\pi$

a że odpowiednie sinusy czy cosinusy mamy w tabelkach albo znamy wzory redukcyjne, możemy wrócić na zapis $a+bi$, jeśli ktoś tego potrzebuje.


tumor
postów: 8085
2012-10-16 19:57:18

1) $(z^4+16)(z^2+z+4)=0$

$z^4+16=0$
$z^4=-16$
$z^2=4i$ lub $z^2=-4i$
$z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
$z_2=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$
$z_3=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$
$z_4=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$
Te pierwiastki wyżej można z de Moivre'a, jeśli oczami nie widać. :)


$z^2+z+4=0$
$delta=-15$
$z_5=\frac{-1-i\sqrt{15}}{2}$
$z_6=\frac{-1+i\sqrt{15}}{2}$




tumor
postów: 8085
2012-10-16 20:35:22

3) $z^2+2z +\frac{1}{4} - i=0$

$(z^2+z+1)-\frac{3}{4}-i=0$

$(z+1)^2-(\frac{\sqrt{3+4i}}{2})^2=0$

$(z+1+\frac{\sqrt{3+4i}}{2})(z+1-\frac{\sqrt{3+4i}}{2})=0$

$z_1=-1-\frac{\sqrt{3+4i}}{2}$
$z_2=-1+\frac{\sqrt{3+4i}}{2}$

Albo inaczej z delty, to samo będzie.
Tego pierwiastka mi się liczyć nie chce, ale się da. Przy braku lepszego pomysłu szukamy układem równań liczby zespolonej $a+bi$, która do kwadratu daje to, co tam pod pierwiastkiem siedzi. ;)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 25 drukuj