Inne, zadanie nr 547
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
easyrider85 post贸w: 48 |  2012-10-16 19:12:02rozwiazac w zbiorze liczb zespolonych rownania: 1) (z^4+16)(z^2+z+4)=0 2) z^3=i 3) z^2+2z +\frac{1}{4} - i 4) z^4=1 |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 19:27:48 4) Wiemy, 偶e rozwi膮zania b臋d膮 cztery. Dwa to $-1$ oraz $1$, a jeszcze wypada pami臋ta膰, jak si臋 graficznie rozk艂adaj膮 pierwiastki z liczb zespolonych (kolejne uzyskuje si臋 obracaj膮c poprzednie o pewien k膮t), wtedy dostajemy pozosta艂e $i$ oraz $-i$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 19:36:41 2) $z^3=i$ Nie korzystaj膮c jeszcze z zaawansowanych metod mo偶emy jeden na oko trafi膰, $z_1=-i$ Liczb臋 zespolon膮 mo偶emy zapisa膰 w postaci trygonometrycznej $z=|z|(cos\phi+isin\phi)$, mamy $z_1=cos\frac{3}{2}\pi+isin\frac{3}{2}\pi$ Pozosta艂e pierwiastki r贸偶ni膮 si臋 tylko k膮tem (o $120^\circ$, czyli $\frac{2}{3}\pi$, w jedn膮 lub w drug膮 stron臋) $z_2=cos\frac{1}{6}\pi+isin\frac{1}{6}\pi$ $z_3=cos\frac{5}{6}\pi+isin\frac{5}{6}\pi$ a 偶e odpowiednie sinusy czy cosinusy mamy w tabelkach albo znamy wzory redukcyjne, mo偶emy wr贸ci膰 na zapis $a+bi$, je艣li kto艣 tego potrzebuje. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 19:57:18 1) $(z^4+16)(z^2+z+4)=0$ $z^4+16=0$ $z^4=-16$ $z^2=4i$ lub $z^2=-4i$ $z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ $z_2=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ $z_3=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ $z_4=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ Te pierwiastki wy偶ej mo偶na z de Moivre\'a, je艣li oczami nie wida膰. :) $z^2+z+4=0$ $delta=-15$ $z_5=\frac{-1-i\sqrt{15}}{2}$ $z_6=\frac{-1+i\sqrt{15}}{2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 20:35:22 3) $z^2+2z +\frac{1}{4} - i=0$ $(z^2+z+1)-\frac{3}{4}-i=0$ $(z+1)^2-(\frac{\sqrt{3+4i}}{2})^2=0$ $(z+1+\frac{\sqrt{3+4i}}{2})(z+1-\frac{\sqrt{3+4i}}{2})=0$ $z_1=-1-\frac{\sqrt{3+4i}}{2}$ $z_2=-1+\frac{\sqrt{3+4i}}{2}$ Albo inaczej z delty, to samo b臋dzie. Tego pierwiastka mi si臋 liczy膰 nie chce, ale si臋 da. Przy braku lepszego pomys艂u szukamy uk艂adem r贸wna艅 liczby zespolonej $a+bi$, kt贸ra do kwadratu daje to, co tam pod pierwiastkiem siedzi. ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj