logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5559

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pifer
postów: 1
2017-10-01 13:43:47

Witam wszystkich. Mam problem z następującymi zadaniami:

1. Udowodnić, że dla dowolnych $x_{i}$ nieujemnych oraz n naturalnego prawdziwa jest nierówność:

$n\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}\le\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}$

2. Wyprowadzić z poniższego równania wartość $\beta$ ($x_{i}$ nieujemne, n naturalne):

$sign(1-\beta)\cdot[\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{i}}{\sum_{j}{x_{j}}})^{1-\beta}]^{\frac{1}{\beta}}=\frac{n\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}}$

Innymi słowy: dla jakiej wartości $\beta$ powyższe równanie jest prawdziwe?

3. Niech x będzie n-elementowym wektorem liczb nieujemnych $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.
Udowodnić prawdziwość (bądź nieprawdziwość) poniższego twierdzenia:

Niech $x=[x^1,x^2$] oraz $y=[y^1,y^2]$ spełniające warunek $\sum_{j}{x_{j}^{i}}=\sum_{j}{y_{j}^{i}}$ dla i=1,2.
Istnieje funkcja średniej h taka, że

$\frac{f(x)}{f(y)}=h(\frac{f(x^1)}{f(y^1)},\frac{f(x^2)}{f(y^2)})$

gdzie

$f(x)= \frac{n\cdot\prod_{i=1}^{n}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{n}}$

$h=g^{-1}(\sum_{i=1}^{2}s_{i}\cdot g(\frac{f(x^i)}{f(y^i)}))$

Funkcja g z powyższej zależności jest nazywana średnią Kołmogorowa-Nagumo i może być tylko potęgowa $(g(y)=y^{\beta)}$ lub logarytmiczna (g(y)=log y), natomiast $s_i$ to dodatnie wagi spełniające warunek $\sum_{i}{s_i} = 1$.

Proszę o uzasadnienie toku rozumowania. Z góry dziękuję za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 18 drukuj