logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5563

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-10-08 21:19:58

Sprawdzic czy ponizsze dzialanie jest laczne, przemienne i czy ma element neutralny.

Dzialanie w zbiorze $N_{+}$.
$m*n=NWD(m, n)$ (podobnie $m*n=NWW(m, n)$).
Dla dowolnych $m,n \in$ $N_{+}$ mamy $m*n=NWD(m, n)=n*m=NWD(n,m)$ jest przemienne, ale czy to wystarczy? (wynika to z wlasnosci NWD)




tumor
postów: 8085
2017-10-09 09:43:29

A co ma nie wystarczyć. Przemienność jest oczywista, tu się wystarczy odwołać do rozumienia nazwy NWD, liczba będzie największym wspólnym dzielnikiem dwóch innych liczb niezależnie od kolejności tych dwóch liczb.

Łączność wymaga już jakiegoś rozumowania, bo
NWD(a,NWD(b,c)) i NWD(NWD(a,b),c) nie pokazuje nam dzielników tych samych liczb, tylko różnych par.
Polecam tu odwołać się do zapisu
$a=p_1^{\alpha_{1}}p_2^{\alpha_{2}}p_3^{\alpha_{3}}...$
$b=p_1^{\beta_{1}}...$
$c=p_1^{\gamma_{1}}...$
gdzie $p_i$ są kolejnymi liczbami pierwszymi, natomiast $\alpha,\beta,\gamma$ są ich odpowiednimi potęgami, np
$60=2^23^15^17^011^0...$

w tym sensie zinterpretuj, czym jest NWD dwóch (a potem trzech i ogólnie n liczb), podobnie NWW dwóch (trzech, n) liczb. Stąd będzie wynikać łączność.

Element neutralny NWW jest dość oczywisty. NWD nie ma takiego, co pokażesz łatwo na dwóch przykładach konkretnych.


geometria
postów: 854
2017-10-17 01:38:07

Czy ponizsze dzialania maja elementy neutralne na podanych zbiorach?
1) $A=N=$ {$0,1,2,3,4,...$}; $a*b=NWD(a,b)$ oraz $a*b=NWW(a,b)$
2) $A=N_{+}=${$1,2,3,...$}; $a*b=NWD(a,b)$ oraz $a*b=NWW(a,b)$
3) $A=Z$$\backslash ${$0$}; $a*b=NWD(a,b)$ oraz $a*b=NWW(a,b)$
4) $A=${$4,5,6$}; $a*b=NWD(a,b)$ oraz $a*b=NWW(a,b)$


tumor
postów: 8085
2017-10-17 08:59:25

Ja mam robić?
1) żeby NWD(e,p)=p dla dowolnej liczby pierwszej p, musi być p|e, czyli element neutralny musi być podzielny przez wszystko. 0 jest jedyną liczbą podzielną przez wszystko.
Jak jednak zdefiniować NWD(0,0)? Podawaliście jakąś wersję tego wyniku?

Jeśli chodzi o NWW to liczba 0 ma tylko wielokrotności 0, ale żadna inna nie ma wielokrotności równej 0, ile zatem równa się na przykład NWW(0,2)?
Gdyby jednakże dopuścić $0^0=1$ jako "wielokrotność", to wówczas taka przerobiona wersja "NWW" dla dowolnych argumentów wynosiłaby 1, co jest trochę bez sensu, no i oczywiście nie istnieje wtedy element neutralny.

2) było już

3) NWD jak w 2), bo da się łatwo zdefiniować dla liczb ujemnych pojęcie dzielnika, natomiast czym jest NWW(5,-5)? 5 i -5 mają jakieś wspólne wielokrotności?

4) działanie nie jest wewnętrzne dla żadnej pary liczb



geometria
postów: 854
2017-10-17 10:20:09

Czyli
Dla dzialania $a*b=NWD(a,b)$ okreslonego na zbiorach $N_{+}$ badz $Z\backslash$ {$0$} element neutralny nie istnieje, poniewaz gdyby istnial to musialby byc podzielny przez kazda liczbe w tym zbiorze.

Natomiast dla dzialania $a*b=NWW(a,b)$ okreslonego na zbiorze $N_{+}$ element neutralny to $e=1$. Wowczas dla kazdego $a\in$ $N_{+}$ zachodzi $a*1=a=1*a$. Mamy wiec $NWW(a,1)=a$.

Czyli jezeli do zbioru, na ktorym okreslone jest dzialanie $NWW$ bedzie nalezec liczba $1$, to bedzie ona elementem neutralnym takiego dzialania.

Gdybysmy rozpatrywali zbior skonczony dla $NWD$, np. $A=${$1,2,4,8,16,32$}, wowczas elementem neutralnym bylby $e=32$, bo podzielny jest przez kazda liczbe z tego zbioru.




tumor
postów: 8085
2017-10-17 15:47:32

Jeśli chodzi o NWW to element neutralny może istnieć i być różny od 1, to zależy od zbioru. Na przykład
$\{2,4,8,16,...\}$
$\{5,10,15,20,25,...\}$

Przykład $A=\{1,2,4,8,16,32\}$ jest fajny, to w ogóle jest krata rozdzielna z działaniami NWD i NWW, ma elementy neutralne dla obu, jest to też dobry porządek z relacją podzielności.


geometria
postów: 854
2017-10-19 21:47:23

Zbior {$2,4,8,16,...$} z dzialaniem $a*b=NWW(a,b)$ ma element neutralny $e=2$. Natomiast nie kazdy element z tego zbioru bedzie mial element odwrotny, bo np. dla $x=4$ nie istnieje element odwrotny, bo $4$ nie dzieli $2$. Zbior ten nie jest grupa.

A dla zbioru $A=${$1,2,4,8,16,32$} z dzialaniem $a*b=NWD(a,b)$ element neutralny to $e=32$. Natomiast nie kazdy element z tego zbioru bedzie mial element odwrotny, bo np. dla $x=4$ nie istnieje element odwrotny, bo $32$ nie dzieli $4$. Zbior ten nie jest grupa.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 14 drukuj