logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5565

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-10-09 15:11:56

Czy ponizsze dzialania maja element neutralny (odp. uzasadnic)?

a) W zbiorze $Z$,$x*y=x(y-1)-y$.

Niech $e\in Z$ bedzie elementem neutralnym dzialania $*$. Wowczas dla dowolnego $x\in Z$ mamy: $x*e=x(e-1)-e=x$ oraz $e*x=$$e(x-1)-x=x$.
Stad $xe-x-e=x$, czyli $xe-e=2x$, $e(x-1)=2x$, $e=\frac{2x}{x-1}$ dla $x\neq 1$. I jak dalej uzasadnic, o ile do tej pory jest dobrze?

b) W zbiorze $R$, a*b=ab+a+b.

Niech $e\in R$ bedzie elementem neutralnym dzialania $*$, czyli dla dowolnego $a\in R$ zachodzi rownosc $a*e=a$. Mamy $a*e=a$, $ae+a+e=a$, $ae+e=0$, $e(a+1)=0$ stad $e=0$, czyli $e=0$ jest el. neutralnym w b).

c) W zbiorze $R$, $a*b=a+b+1$.

Niech $e\in R$ bedzie elementem neutralnym dzialania $*$, czyli dla dowolnego $a\in R$ zachodzi rownosc $a*e=a$ oraz $e*a=a$. Mamy $a*e=a+e+1=a$ stad $e=-1$. Podobnie $e*a=e+a+1=a$, stad tez $e=-1$. Zatem $e=-1$ jest el. neutralnym w c).

d) W zbiorze $Q$, $a*b=\frac{a+b}{2}$.

Niech $e\in Q$ bedzie elementem neutralnym dzialania $*$, czyli dla dowolnego $a\in Q$ zachodzi rownosc $a*e=a$ oraz $e*a=a$.
Mamy $a*e=\frac{a+e}{2}$$=a$ stad $e=a$. Podobnie z $e*a=a$.
Ale $e$ chyba nie moze byc rowne $a$. Czyli w d) nie ma elementu neutralnego.





tumor
postów: 8085
2017-10-09 23:23:31

a) a powiedz mi, co chcesz uzasadnić? Bo wypada mieć jakąś tezę, hipotezę

b) dla ścisłości zauważamy, że skoro dzielisz przez $(a+1)$ to $a+1\neq 0$. Przypadek $a+1=0$, czyli $a=-1$, musisz sprawdzić oddzielnie. Czyli oceniasz, czy $(-1)*0=0*(-1)=-1$.
Nie byłoby tego problemu, gdyby to było działanie w $N_0$, tam nie ma liczby -1 i wszystko zagra. W R już trzeba brać pod uwagę.

Inaczej patrząc: wykonując takie obliczenia (ale przy dodatkowych założeniach) znajdujesz kandydata na element neutralny. 0 traktujemy jak kandydata i sprawdzamy, od początku, czy rzeczywiście $0*a=a*0=a$ dla wszystkich $a$ należących do zbioru.

c) uwaga ta, co wyżej, nie jest potrzebna tutaj, bo przerzucić na prawą stronę równania można zawsze. A podzielić nie można przez wszystko, czyli w b) zastanowienie jest konieczne.

d) Nie ma elementu neutralnego, bo "chyba"? :D
Jest możliwe, że $e=a$. Na przykład w zbiorze jednoelementowym, dość oczywisty przykład to $\{0\}$ z dodawaniem albo $\{1\}$ z mnożeniem.
Natomiast jeśli weźmiesz już dowolny zbiór dwuelementowy, to są w nim różne a,b, element neutralny nie może być jednocześnie równy a i równy b. Wobec tego w Q z działaniem z zadania także nie ma elementu neutralnego.



geometria
postów: 854
2017-10-10 09:21:40

A jak wyznaczyc ten elememt w a)?


tumor
postów: 8085
2017-10-11 00:58:39

1) widzisz, że wzór na element neutralny jest zależny od x, a nie powinien

2) z powyższego wynika, że może się udać znaleźć dwa różne elementy zbioru, dla których policzony elementy neutralne będą różne

3) ale ze wzoru widać też, że element neutralny nie musi być liczbą całkowitą, a przecież taki masz zbiór. Wystarczy dobrać x tak, żeby nie był

4) w swoim rozumowaniu nie rozważasz przypadku x=1. Jego rozważenie również pokaże, jak trzy powyższe rozumowania, że elementu neutralnego tu nie ma. ;)
Innymi słowy rozwiązując systematycznie już cztery razy zorientowaliśmy się, że w a) nie ma elementu neutralnego. Po to jest systematyczne rozwiązywanie.


geometria
postów: 854
2017-10-17 01:31:20

a)
$e=\frac{2x}{x-1}$, $x\neq 1$.
$0*e=0, e=$$\frac{2\cdot 0}{-1}=0$
$2*e=2, e=$$\frac{2\cdot 2}{1}=4$
Zatem elementu neutralnego nie ma (moze byc co najwyzej jeden element neutralny).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 52 drukuj