Algebra, zadanie nr 5572
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-10-17 10:39:59Niech $(G,\cdot)$ bedzie grupa i $A\subset G$. Sprawdzic, czy podzbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\cdot$. Jesli tak, to sprawdzic czy $A$ jest podgrupa grupy $(G,\cdot)$. $G=(Z_{8}, +_{8})$; $A=${$0,2,4,6$}. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-10-17 15:51:19 Sprawdzi膰, czy jest zamkni臋ty, to po prostu oceni膰, czy wynik dzia艂ania na dw贸ch elementach z A mo偶e by膰 poza zbiorem A. Tu oczywi艣cie nie mo偶e. Sprawdzi膰, czy jest podgrup膮, to sprawdzi膰, czy jest zbiorem zamkni臋tym na dzia艂anie i czy jest grup膮. Skoro dzia艂anie by艂o 艂膮czne w $G$, to oczywi艣cie b臋dzie 艂膮czne w ka偶dym podzbiorze $A\subset G$ zamkni臋tym na to dzia艂anie. To samo gdyby nas interesowa艂a przemienno艣膰. Element neutralny z G jest w A, wi臋c te偶 musi tam by艂 neutralny. Pozostaje si臋 zorientowa膰, czy wszystkie elementy odwrotne element贸w z A s膮 w A. |
geometria post贸w: 865 | 2017-10-17 17:19:30 Elementem neutralnym jest $0$. Jest on odwrotny do samego siebie, bo jest elementem neutralnym. $n-x$ jest elementem odwrotnym do $x$ wzgledem $+_{n}$. $n=8$ $x=2, 8-2=6$, czyli $6$ jest elementem odwrotnym do $2$; $x=4, 8-4=4$, czyli $4$ jest elementem odwrotnym do $4$; $x=6, 8-6=2$, czyli $2$ jest elementem odwrotnym do $6$. Zatem wszystkie elementy odwrotne do elementow ze zbioru $A$ naleza tez do zbioru $A$. Czyli $A$ jest podgrupa $G$. A jak uzasadnic, ze wynik tego dzialania (czyli $a+_{8} b=r_{8}(a+b)$) dla wszystkich elementow z $A$ bedzie zawsze w $A$? |
geometria post贸w: 865 | 2017-10-17 19:57:20 To samo polecenie, ale dla $G=S_{3}$; $A=${$id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$}. Czy zbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\circ$ skladania funkcji? $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$$\circ$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$$=id=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$ $\in A$ Wydaje mi sie, ze zbior $A$ bedzie zamkniety na dzialanie skladania, ale nie wiem jak to uzasadnic. Czy elementem neutralnym bedzie $e=$$id=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}$? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-10-17 20:38:28 przez geometria |
tumor post贸w: 8070 | 2017-10-18 01:33:25 1. Dodawanie liczb parzystych modulo 8 daje wynik parzysty, a wszystkie parzyste reszty z dzielenia przez 8 s膮 w A. 2. Dla tak niewielu element贸w wystarczy sprawdzi膰 wszystkie pary. Przy tym w og贸lno艣ci sk艂adanie permutacji nie jest przemienne, czyli musisz sprawdzi膰 wszystkie pary w ka偶d膮 stron臋 (chyba 偶e wpierw udowodnisz, 偶e dla tego zbioru sk艂adanie b臋dzie przemienne). Bardziej abstrakcyjnie co艣 uzasadnia膰 by trzeba, gdyby element贸w by艂o du偶o i r臋czne sprawdzenie wszystkich by艂oby trudne. Tak, identyczno艣膰 jest zawsze elementem neutralnym z艂o偶e艅. |
geometria post贸w: 865 | 2017-10-20 14:14:20 $id\circ id=id$ Sprawdzilem wszystkie pozostale zlozenia i wszystkie naleza do $A$. Zatem zbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\circ$. Element neutralny to $id$. Jest on odwrotny do samego siebie. Kazdy element ze zbioru A ma element odwrotny, ktory tez nalezy do zbioru A. Co bylo widac na wczesniejszych zlozeniach. Wiec elementem odwrotnym do $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$ jest $\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$, a el. odwr. do $\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$ jest $\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$. Zatem $A$ jest podgrupa $G$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-10-20 20:32:36 ok |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj