Algebra, zadanie nr 5576
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| geometria postów: 865 |  2017-10-20 17:11:51Niech $(G,\cdot)$ bedzie grupa i $A\subset G$. Sprawdzic, czy podzbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\cdot$. Jesli tak, to sprawdzic czy $A$ jest podgrupa grupy $(G,\cdot)$. 1) $G=(C, +); A=S^{2}$ (okrag o promieniu $2$) Chcialbym wiedziec jak zapisac okrag $S^{2}$ w postaci zbioru w sensie $S^{2}$={...}. 2) $G=(C\backslash$ {$0$}, $\cdot)$; $A=S^{2}$ (okrag o promieniu $2$) 3) $G=(C\backslash$ {$0$}, $\cdot)$; $A=(0, \infty)$ Zbior $A$ jest zamkniety na dzialanie mnozenia, bo iloczyn dowolnych dwoch liczb dodatnich jest liczba dodatnia. Mnozenie jest przemienne. Element neutralny to $e=1\in A$. Dla kazdego $x\in A$ istnieje element odwrotny $x^{-1}=\frac{1}{x}\in A$. Zatem $A$ jest podgrupa $G$. Wiadomość była modyfikowana 2017-10-20 17:12:51 przez geometria |
| tumor postów: 8070 | 2017-10-20 20:31:13 3) ok 1),2) okrąg to zbiór liczb, których odległość od 0 jest równa promieniowi. W C okrąg oznacza $\{z: |z|=2\}$, czy bardziej jawnie $\{a+bi: \sqrt{a^2+b^2}=2\}$ Jak już dojdziesz do odpowiedzi w 1), 2), to jeszcze odpowiedz na pytanie, czy dla każdego promienia odpowiedź będzie taka sama. |
| geometria postów: 865 | 2017-10-21 12:37:56 $ 1)$ $G=(C, +)$, $S^{2}=\{z\in C: |z|=2\}$. Czyli mamy dzialanie $z_{1}*z_{2}=z_{1}+z_{2}$. Zbior $S^{2}$ nie jest zamkniety na dzialanie $+$, bo $z_{1}=(2,0)=2+0i=2\in S^{2}$, $z_{2}=(0,2)=0+2i=2i\in S^{2}$, ale $z_{1}+z_{2}=2+2i\notin S^{2}$, gdyz $|z_{1}+z_{2}|=|2+2i|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}\notin S^{2}$ $(2\sqrt{2}\neq 2)$. $2)$ $G=(C\backslash \{0\}, \cdot)$, $S^{2}=\{z\in C: |z|=2\}$. Czyli mamy dzialanie $z_{1}*z_{2}=z_{1}\cdot z_{2}$. Zbior $S^{2}$ nie jest zamkniety na dzialanie $\cdot$, bo $z_{1}=(2,0)=2+0i=2\in S^{2}$, $z_{2}=(0,2)=0+2i=2i\in S^{2}$, ale $z_{1}\cdot z_{2}=4i\notin S^{2}$, gdyz $|z_{1}\cdot z_{2}|=|4i|=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=4\notin S^{2}$ $(4\neq 2)$. ----------------------------------------------------------- Ogolnie Dla $G=(C, +)$ zbior $S^{r}=\{z\in C: |z|=r; r\in R_{+}\}$ nie jest zamkniety na dzialanie $+$, bo zawsze znajdzie sie takie $z_{1}, z_{2}\in S^{r}$, ze $|z_{1}+z_{2}|\neq r$. Dla $G=(C\backslash \{0\}, \cdot)$ zbior $S^{r}=\{z\in C: |z|=r; r\in R_{+}\backslash\{1\}\}$ tak samo tylko, ze $|z_{1}\cdot z_{2}|\neq r$. ----------------------------------------------------------- Natomiast dla $r=1$ z dzialaniem mnozenia bedzie: $G=(C\backslash \{0\}, \cdot)$, $S^{1}=\{z\in C: |z|=1\}$ Wiem, ze ten zbior jest zamkniety na dzialanie mnozenia, ale nie wiem jak to pokazac. Bedzie on tez podgrupa $G$. Elementem neutralnym dla mnozenia jest $1$ a tutaj $1\in S^{1}$. |
| tumor postów: 8070 | 2017-10-21 14:27:27 Do "Ogolnie" mam pewną uwagę: Jest prawdą, że "zawsze znajdzie się takie $z_1,z_2$", ale to jest prawda objawiona. Nie podajesz żadnego sposobu na znalezienie tych $z_1,z_2$, wobec tego czytelnik może Ci wierzyć na słowo, że zawsze znajdzie, albo przeprowadzać dowód samodzielnie, że zawsze znajdzie. Tu natomiast nie sprawia nam trudności pokazać, że wystarczy $z_1=z_2$ dowolne. Na pewno $|a+bi+a+bi|>|a+bi|$, jeśli co najmniej jedna z liczb $a,b$ jest różna od zera. -- W części odnośnie mnożenia również brakuje jakiegoś przekonującego argumentu - mówisz prawdę, ale w ramach objawienia. Mamy jednak $|z_1|=|z_2|=r$ no i z własności liczb zespolonych $|z_1z_2|=|z_1||z_2|=|z_1|^2$ by $|z_1|^2=r=|z_1|$ dla $r$ dodatniego musi być $r=1$ (równanie $x^2=x$ ma tylko dwa rozwiązania, 0 i 1). -- O ile zatem mówisz, jak rzeczywiście jest, to nikogo nie przekonujesz, bo nie ma tu żadnych obliczeń uzasadniających tę prawdę. |
| geometria postów: 865 | 2017-10-21 15:29:41 Czyli dla $r=1$ zbior $S^{1}$ jest zamkniety na dzialanie mnozenia. Dla kazdego $z\in S^{1}$ mamy $zz^{-1}=1$ $|z||z^{-1}|=|zz^{-1}|=|1|=1$ $|z^{-1}|=\frac{1}{|z|}$, ale $|z|=1$, wiec $|z^{-1}|=\frac{1}{1}=1 \in S^{1}$, zatem $z^{-1}\in S^{1}$. Ostatecznie $S^{1}$ jest podgrupa $G$. |
| tumor postów: 8070 | 2017-10-21 17:40:25 ok |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj