logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5576

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-10-20 17:11:51

Niech $(G,\cdot)$ bedzie grupa i $A\subset G$. Sprawdzic, czy podzbior $A$ jest zamkniety na dzialanie $\cdot$. Jesli tak, to sprawdzic czy $A$ jest podgrupa grupy $(G,\cdot)$.

1) $G=(C, +); A=S^{2}$ (okrag o promieniu $2$)
Chcialbym wiedziec jak zapisac okrag $S^{2}$ w postaci zbioru w sensie $S^{2}$={...}.

2) $G=(C\backslash$ {$0$}, $\cdot)$; $A=S^{2}$ (okrag o promieniu $2$)

3) $G=(C\backslash$ {$0$}, $\cdot)$; $A=(0, \infty)$

Zbior $A$ jest zamkniety na dzialanie mnozenia, bo iloczyn dowolnych dwoch liczb dodatnich jest liczba dodatnia.

Mnozenie jest przemienne.

Element neutralny to $e=1\in A$.
Dla kazdego $x\in A$ istnieje element odwrotny $x^{-1}=\frac{1}{x}\in A$.

Zatem $A$ jest podgrupa $G$.


Wiadomość była modyfikowana 2017-10-20 17:12:51 przez geometria

tumor
postów: 8085
2017-10-20 20:31:13

3) ok

1),2) okrąg to zbiór liczb, których odległość od 0 jest równa promieniowi. W C okrąg oznacza $\{z: |z|=2\}$, czy bardziej jawnie
$\{a+bi: \sqrt{a^2+b^2}=2\}$

Jak już dojdziesz do odpowiedzi w 1), 2), to jeszcze odpowiedz na pytanie, czy dla każdego promienia odpowiedź będzie taka sama.


geometria
postów: 854
2017-10-21 12:37:56

$ 1)$
$G=(C, +)$, $S^{2}=\{z\in C: |z|=2\}$.

Czyli mamy dzialanie $z_{1}*z_{2}=z_{1}+z_{2}$.

Zbior $S^{2}$ nie jest zamkniety na dzialanie $+$, bo $z_{1}=(2,0)=2+0i=2\in S^{2}$, $z_{2}=(0,2)=0+2i=2i\in S^{2}$, ale $z_{1}+z_{2}=2+2i\notin S^{2}$, gdyz $|z_{1}+z_{2}|=|2+2i|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}\notin S^{2}$ $(2\sqrt{2}\neq 2)$.

$2)$
$G=(C\backslash \{0\}, \cdot)$, $S^{2}=\{z\in C: |z|=2\}$.

Czyli mamy dzialanie $z_{1}*z_{2}=z_{1}\cdot z_{2}$.

Zbior $S^{2}$ nie jest zamkniety na dzialanie $\cdot$, bo $z_{1}=(2,0)=2+0i=2\in S^{2}$, $z_{2}=(0,2)=0+2i=2i\in S^{2}$, ale $z_{1}\cdot z_{2}=4i\notin S^{2}$, gdyz $|z_{1}\cdot z_{2}|=|4i|=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=4\notin S^{2}$ $(4\neq 2)$.

-----------------------------------------------------------

Ogolnie

Dla $G=(C, +)$ zbior $S^{r}=\{z\in C: |z|=r; r\in R_{+}\}$ nie jest zamkniety na dzialanie $+$, bo zawsze znajdzie sie takie $z_{1}, z_{2}\in S^{r}$, ze $|z_{1}+z_{2}|\neq r$.

Dla $G=(C\backslash \{0\}, \cdot)$ zbior $S^{r}=\{z\in C: |z|=r; r\in R_{+}\backslash\{1\}\}$ tak samo tylko, ze $|z_{1}\cdot z_{2}|\neq r$.

-----------------------------------------------------------
Natomiast dla $r=1$ z dzialaniem mnozenia bedzie:

$G=(C\backslash \{0\}, \cdot)$, $S^{1}=\{z\in C: |z|=1\}$

Wiem, ze ten zbior jest zamkniety na dzialanie mnozenia, ale nie wiem jak to pokazac.

Bedzie on tez podgrupa $G$.

Elementem neutralnym dla mnozenia jest $1$ a tutaj $1\in S^{1}$.


tumor
postów: 8085
2017-10-21 14:27:27

Do "Ogolnie" mam pewną uwagę:
Jest prawdą, że "zawsze znajdzie się takie $z_1,z_2$", ale to jest prawda objawiona. Nie podajesz żadnego sposobu na znalezienie tych $z_1,z_2$, wobec tego czytelnik może Ci wierzyć na słowo, że zawsze znajdzie, albo przeprowadzać dowód samodzielnie, że zawsze znajdzie.

Tu natomiast nie sprawia nam trudności pokazać, że wystarczy $z_1=z_2$ dowolne. Na pewno $|a+bi+a+bi|>|a+bi|$, jeśli co najmniej jedna z liczb $a,b$ jest różna od zera.

--

W części odnośnie mnożenia również brakuje jakiegoś przekonującego argumentu - mówisz prawdę, ale w ramach objawienia.
Mamy jednak
$|z_1|=|z_2|=r$
no i z własności liczb zespolonych $|z_1z_2|=|z_1||z_2|=|z_1|^2$
by $|z_1|^2=r=|z_1|$ dla $r$ dodatniego musi być $r=1$ (równanie $x^2=x$ ma tylko dwa rozwiązania, 0 i 1).

--

O ile zatem mówisz, jak rzeczywiście jest, to nikogo nie przekonujesz, bo nie ma tu żadnych obliczeń uzasadniających tę prawdę.


geometria
postów: 854
2017-10-21 15:29:41

Czyli dla $r=1$ zbior $S^{1}$ jest zamkniety na dzialanie mnozenia.

Dla kazdego $z\in S^{1}$ mamy
$zz^{-1}=1$
$|z||z^{-1}|=|zz^{-1}|=|1|=1$
$|z^{-1}|=\frac{1}{|z|}$, ale $|z|=1$, wiec $|z^{-1}|=\frac{1}{1}=1 \in S^{1}$, zatem $z^{-1}\in S^{1}$.

Ostatecznie $S^{1}$ jest podgrupa $G$.


tumor
postów: 8085
2017-10-21 17:40:25

ok

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 10 drukuj