logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5580

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-10-30 00:17:38

Kazda transpozycja jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji liczb sasiednich.

Ale jak to zastosowac?

Np. dla transpozycji
a) $(1,2)$
b) $(3,4)$
c) $(2,5)$


geometria
postów: 854
2017-10-31 14:30:42

Chyba juz wiem.

a) $(1,2)=(1,2)$
b) $(3,4)=(3,4)$
c) $(2,5)=(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)(2,3)$




geometria
postów: 854
2017-10-31 23:21:35

1. Dana jest permutacja $\alpha$=$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&5&1&2\end{bmatrix}$$\in S_{5}$.
a) przedstawic $\alpha$ jako zlozenie pewnej liczby transpozycji postaci (1, i), gdzie $i\in$ {$2,3,4,5$}
b) rozlozyc permutacje $\alpha$ na iloczyn transpozycji liczb sasiednich
c) okreslic rzad $\alpha$
d) ile elementow tego rzedu jest w grupie $S_{5}$?
e) okreslic indeks podgrupy generowanej przez $\alpha$
f) w grupie $S_{5}$ rozwiazac rownanie $\alpha\circ x=x\circ \alpha$

a) $\alpha=(1,4)(2,3,5)=(1,4)(2,5)(2,3)=(1,4)(1,2)(1,5)(1,2)(1,2)(1,3)(1,2)=(1,4)(1,2)(1,5)(1,3)(1,2)$
$(2,5)=(1,2)(1,5)(1,2)$
$(2,3)=(1,2)(1,3)(1,2)$
$(1,2)(1,2)=id$

b) $\alpha=(1,4)(2,3,5)=(1,4)(2,5)(2,3)=(1,2)(2,3)(3,4)(2,3)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)(2,3)(2,3)=(1,2)(2,3)(3,4)(2,3)(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(3,4)$

c) $ord(\alpha)=NWW(2,3)=6$

d), e) ?

f) $\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&5&1&2\end{bmatrix}$$x=x$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\4&3&5&1&2\end{bmatrix}$



Wiadomość była modyfikowana 2017-10-31 23:29:43 przez geometria

tumor
postów: 8085
2017-11-09 13:25:58

a-c nie sprawdzam, zakładam umiejętność składania permutacji

d) zastanów się, czy jakieś jeszcze są możliwości poza permutacjami rozkładalnymi na dwa cykle o długości odp. 2 i 3

e) dla grup skończonych indeks podgrupy to rząd grupy dzielony przez rząd podgrupy (Tw. Lagrange'a)

f) Oczywistym rozwiązaniem jest permutacja odwrotna. Ale czy są inne?



geometria
postów: 854
2017-11-09 15:35:19

d) Aby rzad elementu byl rowny 6 to moga byc jedynie permutacje rozkladane na dwa cykle rozlaczne o dlugosci 2 i 3 (lub 3 i 2).

Ja policzylbym tak:
Elementow rzedu 6 w grupie $S_{5}$ jest ${5 \choose 2}{3 \choose 3}=10*1=10$ (bo liczby nie moga sie powtorzyc i ich kolejnosc nie ma znaczenia).



tumor
postów: 8085
2017-11-09 21:34:56

d) jest też możliwość istnienia jednego cyklu o długości 6, ale oczywiście nie w grupie $S_5$.

Kombinacjami wybierasz elementy do cyklu. Oczywiście dla danych 2 elementów istnieje tylko jeden cykl, jaki tworzą, tzn
(a,b)=(b,a)
Ale co z cyklem trójelementowym?

---
W ramach sprawdzenia tego zadania dobrze byłoby policzyć ilość elementów każdego rzędu i sprawdzić, czy suma tych ilości daje ilość elementów grupy


geometria
postów: 854
2017-11-09 22:38:39

d) $f,g,h$ wybrane liczby do cyklu trojelemntowego
Z nich mozna stworzyc dwa rozne cykle.
$(f,g,h)$ i $(f,h,g)$.

Czyli ostatecznie: elementow rzedu 6 w grupie $S_{5}$ jest $10*2!=20$.

Liczba elementow grupy $S_{5}$ wynosi $5!=120$.

d') Dla $S_{6}$:

W zbiorze $n$-elementowym liczba cykli o dlugosci $k$ wynosi ${n \choose k}(k-1)!$.

(a,b,c,d,e,f) wybieramy 6 elementow z 6 (czyli na jeden sposob) i nastepnie ustawiamy je w rozne cykle.

Zatem takich cykli jest $1*(6-1)!=5!=120$.

Oprocz tego permutacja moze byc w postaci dwoch cykli rozlacznych o dlugosciach 2 i 3. Wowczas liczba takich permutacji (elementow) jest rowna ${6 \choose 2}{4 \choose 3}(3-1)!=15*4*2=120$.

Ostatecznie elementow rzedu 6 w tej grupie jest $120+120=240$.


geometria
postów: 854
2017-11-09 23:13:27

e) Rzad elementu $\alpha$ jest rowny rzedowi podgrupy $<\alpha>=${$\alpha^{0}=e,\alpha^{1},\alpha^{2},\alpha^{3},\alpha^{4},\alpha^{5}$}. Czyli rzad podgrupy $<\alpha>$ wynosi 6.

Rzad grupy (czyli liczba jej elementow) $S_{5}$ wynosi $5!=120$.

Zatem indeks podgrupy generowanej przez $\alpha$ jest rowny $(S_{5}:<\alpha>)=\frac{120}{6}=20$.

f) $x=odwrotnosc$ lub $x=id$ lub $x=\alpha$.

Ale czy bedzie wiecej to nie wiem.



geometria
postów: 854
2017-11-10 17:36:05

f) Bo jak pokazac ile jest tych rozwiazan?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 4 drukuj