Algebra, zadanie nr 5590
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-11-09 23:28:021. $\alpha=$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7\\3&1&2&7&4&6&5\end{bmatrix}$, $\beta=$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7\\3&4&1&2&7&6&5\end{bmatrix}$. a) znalezc permutacje $g\in S_{7}$ taka, ze $g^{2}=\alpha$, b) udowodnic, ze nie istnieje $g\in S_{7}$ taka, ze $g^{2}=\beta$. a) Z permutacji $\alpha$ mam: $g(g(1))=3; g(g(2))=1; g(g(3))=2; g(g(4))=7; g(g(5))=4; g(g(6))=6; g(g(7))=5$. Potem dobieram wartosci i sprawdzam ich poprawnosc. Ostatecznie mam $g$: $g(1)=2$ $g(2)=3$ $g(3)=1$ $g(4)=5$ $g(5)=7$ $g(6)=6$ $g(7)=4$ Czyli $g=$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5&6&7\\2&3&1&5&7&6&4\end{bmatrix}$. Jak udowodnic, ze w b) nie istnieje taka permutacja $g$? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-11-09 23:30:00 przez geometria |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-10 10:00:15 a) 艂atwo zobaczy膰, co si臋 ma dzia膰, gdy si臋 roz艂o偶y na cykle a`) Gdyby艣my zrobili w a) podgrup臋 generowan膮 przez $\alpha$ i mia艂aby ona parzysty rz膮d, czyli $<\alpha>=\{\alpha^0,\alpha^2,...,\alpha^n,...,\alpha^{2n-1}\}$ To wystarczy przyj膮膰 $g=\alpha^n$, wtedy oczywi艣cie $g^2=\alpha$. b) Mog臋 zaproponowa膰 rozumowanie zn贸w oparte o cykle. Za艂贸偶my, 偶e mamy cykl <c> o n elementach. W贸wczas, je艣li we藕miemy liczb臋 0<k<n wzgl臋dnie pierwsz膮 z n, to tak偶e $<c^k>$ ma n element贸w. Dlaczego? Jak to b臋dzie dla k dziel膮cego n? Jak dla k maj膮cego z n dzielnik wi臋kszy od 1? Je艣li roz艂o偶ymy permutacj臋 na cykle roz艂膮czne, to ich sk艂adanie b臋dzie przemienne. Ta uwaga pewnie si臋 pojawi艂a, ale warto wiedzie膰, 偶e to ma znaczenie. Je艣li zatem mamy g roz艂o偶one na takie cykle, mo偶emy je oddzielnie podnosi膰 do kwadratu. Cykl dwuelementowy da po podniesieniu do kwadratu identyczno艣膰. Cykl tr贸jelementowy, skoro NWD(2,3)=1 da cykl tr贸jelementowy. Cykl 5-el, 7-el analogicznie. Cykl 4-elementowy do kwadratu da dwa cykle dwuelementowe. Cykl 6-elementowy do kwadratu da dwa cykle tr贸jelementowe. Wobec tego nie ma z czego ulepi膰 g, by wzi臋te do kwadratu da艂o z艂o偶enie trzech roz艂膮cznych dwuelementowych cykli. b`) wiemy te偶, 偶e $<\beta>$ jest podgrup膮 $<g>$, czyli $<g>$ ma parzysty rz膮d (musi by膰 podzielny przez rz膮d swojej podgrupy). Wobec tego istnieje w $g$ cykl o parzystej d艂ugo艣ci. Nie mo偶e to by膰 cykl o d艂ugo艣ci 2, bo do kwadratu da identyczno艣膰 na dw贸ch elementach, a w $\beta$ jest tylko $6\to 6$. Podobnie cykl o d艂ugo艣ci 4 czy 6 nie da oczekiwanego efektu. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2017-11-10 10:00:29 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj