logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5591

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-11-09 23:47:19

Wskazac podgrupe grupy $S_{4}$ izomorficzna z grupa
a) $S_{3}$
b) $(Z_{3}, +_{3})$
c) czworkowa Kleina $K_{4}$.
Wszystkie odpowiedzi uzasadnic. Do kazdego podpunktu inna podgrupa.


Podgrupa grupy musi byc zamknieta na dzialanie, miec element neutralny i odwrotny do kazdego elementu z tej podgrupy.
Grupy $(G, *), (H, \cdot)$ sa izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $f: G\rightarrow H$.


tumor
postów: 8085
2017-11-10 10:38:46

Element neutralny to zawsze będzie identyczność.

a) wystarczy zostawić ustalony jeden element i go nie permutować

b) $Z_3$ jest cykliczna. Każde dwie grupy cykliczne o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Potrzebujesz znaleźć generator, czyli permutację rzędu 3. Cykl trójelementowy się nada.

c) a czwórkowa Kleina nie jest cykliczna, czyli na pewno nie będziemy szukać nic postaci $<\alpha>$.

Na początek zauważymy, że wiki podaje rozwiązanie. Ale udało nam się zamknąć oczy odpowiednio wcześnie i nie pamiętamy tego rozwiązania, wobec tego próbujemy coś wymyślić.

Z tabelki działań grupy czwórkowej wiemy, że każdy z elementów podniesiony do kwadratu daje identyczność. Element neutralny to po prostu identyczność, natomiast pozostałe elementy albo będą pojedynczymi cyklami dwuelementowymi, albo złożeniami dwóch cykli rozłącznych. Żaden inny wariant nie daje rzędów 2.

Możemy przyjąć, że a=(1,2) lub a=(1,2)(3,4) bo inne możliwości są tylko powtórkami z tych.
Grupa czwórkowa jest przemienna, więc b musi być przemienne z a, różne od a, różne od id, no i rozkładalne na jeden lub dwa rozłączne cykle dwuelementowe.
Dopasujesz coś? Już zostało niewiele możliwości do ręcznego sprawdzenia.

c`) jeśli jednak znamy interpretację geometryczną grupy czwórkowej (symetrie rombu lub prostokąta, ale nie kwadratu), to wystarczy ponumerować wierzchołki figury i każdą z symetrii zapisać jako permutację wierzchołków.

Romb ma symetrie
id,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)
(Zauważamy tu dość oczywisty izomorfizm z $Z_2\times Z_2$)
prostokąt ma symetrie
id, (1,2)(3,4),(1,4)(2,3),(1,3)(2,4)



geometria
postów: 854
2017-11-12 11:50:15

a)
Niech $H\lt S_{4}$.
Grupa $S_{3}$ ma 6 elementow. Skoro $H$ ma byc izmorficzna z $S_{3}$ to tez musi miec 6 elementow.
$H=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$=id, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&2&1&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4\end{bmatrix}$$\}$.

Grupy te sa izomorficzne, bo istnieje izmorfizm $f$ taki, ze:
$f: H\rightarrow S_{3}$
$f(id)=id$;
$f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$;
$f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$;
$f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}$;
$f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}$;
$f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&2&1&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}$;
$f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}$.

Funkcja $f$ jest bijekcja. To raczej widac. Czy trzeba to pokazac?
Funkcja $f$ musi spelniac warunek $(\forall_{a, b\in H})$ $f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)$.
Ale jak pokazac, ze go spelnia? Mozna sprawdzic po kolei wszystkie elementy, ale to czasochlonne.
Czy juz nie ma potrzeby tego sprawdzac?



tumor
postów: 8085
2017-11-12 16:14:52

IMO to najprostsze wyjście, że przypisujesz
$\left[\begin{matrix} 1&2&3&4 \\ a&b&c&4 \end{matrix}\right]\mapsto
\left[\begin{matrix} 1&2&3 \\ a&b&c \end{matrix}\right]$

nie wymaga dodatkowych tłumaczeń, bo wszelkie działania po lewej stronie omijają element 4, a wszystkie inne zachowują się po lewej i po prawej tak samo.

Możesz pokazać złożenie powyższego, po lewej z permutacją
$\left[\begin{matrix} 1&2&3&4 \\ a_0&b_0&c_0&4 \end{matrix}\right]$
po prawej z
$\left[\begin{matrix} 1&2&3 \\ a_0&b_0&c_0 \end{matrix}\right]$

tak by było najszybciej dla n elementów (6 to nie jest dużo, ale mogłeś mieć przypadek ogólny (n-1)! elementów)


geometria
postów: 854
2017-11-12 20:22:00

b)
$H\le S_{4}$; $Z_{3}=\{0, 1, 2\}$; $|Z_{3}|=3$.
Grupa $H$ tez bedzie miec 3 elementy.

$H=<$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$$>=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$$=id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$$\}$.

$(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{0}=id$
$(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{1}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$
$(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{2}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$

Zatem grupa $H$ tez jest cykliczna, generatorem jest permutacja $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$.

Wiec na podstawie twierdzenia grupy te sa izomorficzne.

Jest tez izomorfizm $f: H\rightarrow Z_{3}$ taki, ze:
$f(id)=0$;
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})=1$;
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix})=2$.

c)
$H\le S_{4}$; $K_{4}=\{id=O_{0^{\circ}}, O_{180^{\circ}}, S_{1}, S_{2}\}$; $S_{1}$-symetria wzgledem osi poziomej, $S_{2}$-symetria wzgledem osi pionowej; $|K_{4}|=4$.
Grupa $H$ tez bedzie miec 4 elementy.

$H=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}=id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}\}$.

Mamy izomorfizm $f: K_{4}\rightarrow H$ taki, ze:
$f(id)=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$;
$f(O_{180^{\circ}})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}$;
$f(S_{1})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}$;
$f(S_{2})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{bmatrix}$.



geometria
postów: 854
2018-11-10 21:36:11

a)
$a,b,c,d,e,f\in \{1,2,3\}$
$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\d&e&f&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\a&b&c&4\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\...&...&...&4\end{bmatrix}$

Jak to złozyc?
$3\rightarrow c\rightarrow$ ?
Na co przejda te literki?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 126 drukuj