Algebra, zadanie nr 5591
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-11-09 23:47:19Wskazac podgrupe grupy $S_{4}$ izomorficzna z grupa a) $S_{3}$ b) $(Z_{3}, +_{3})$ c) czworkowa Kleina $K_{4}$. Wszystkie odpowiedzi uzasadnic. Do kazdego podpunktu inna podgrupa. Podgrupa grupy musi byc zamknieta na dzialanie, miec element neutralny i odwrotny do kazdego elementu z tej podgrupy. Grupy $(G, *), (H, \cdot)$ sa izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $f: G\rightarrow H$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-10 10:38:46 Element neutralny to zawsze b臋dzie identyczno艣膰. a) wystarczy zostawi膰 ustalony jeden element i go nie permutowa膰 b) $Z_3$ jest cykliczna. Ka偶de dwie grupy cykliczne o tej samej liczbie element贸w s膮 izomorficzne. Potrzebujesz znale藕膰 generator, czyli permutacj臋 rz臋du 3. Cykl tr贸jelementowy si臋 nada. c) a czw贸rkowa Kleina nie jest cykliczna, czyli na pewno nie b臋dziemy szuka膰 nic postaci $<\alpha>$. Na pocz膮tek zauwa偶ymy, 偶e wiki podaje rozwi膮zanie. Ale uda艂o nam si臋 zamkn膮膰 oczy odpowiednio wcze艣nie i nie pami臋tamy tego rozwi膮zania, wobec tego pr贸bujemy co艣 wymy艣li膰. Z tabelki dzia艂a艅 grupy czw贸rkowej wiemy, 偶e ka偶dy z element贸w podniesiony do kwadratu daje identyczno艣膰. Element neutralny to po prostu identyczno艣膰, natomiast pozosta艂e elementy albo b臋d膮 pojedynczymi cyklami dwuelementowymi, albo z艂o偶eniami dw贸ch cykli roz艂膮cznych. 呕aden inny wariant nie daje rz臋d贸w 2. Mo偶emy przyj膮膰, 偶e a=(1,2) lub a=(1,2)(3,4) bo inne mo偶liwo艣ci s膮 tylko powt贸rkami z tych. Grupa czw贸rkowa jest przemienna, wi臋c b musi by膰 przemienne z a, r贸偶ne od a, r贸偶ne od id, no i rozk艂adalne na jeden lub dwa roz艂膮czne cykle dwuelementowe. Dopasujesz co艣? Ju偶 zosta艂o niewiele mo偶liwo艣ci do r臋cznego sprawdzenia. c`) je艣li jednak znamy interpretacj臋 geometryczn膮 grupy czw贸rkowej (symetrie rombu lub prostok膮ta, ale nie kwadratu), to wystarczy ponumerowa膰 wierzcho艂ki figury i ka偶d膮 z symetrii zapisa膰 jako permutacj臋 wierzcho艂k贸w. Romb ma symetrie id,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4) (Zauwa偶amy tu do艣膰 oczywisty izomorfizm z $Z_2\times Z_2$) prostok膮t ma symetrie id, (1,2)(3,4),(1,4)(2,3),(1,3)(2,4) |
geometria post贸w: 865 | 2017-11-12 11:50:15 a) Niech $H\lt S_{4}$. Grupa $S_{3}$ ma 6 elementow. Skoro $H$ ma byc izmorficzna z $S_{3}$ to tez musi miec 6 elementow. $H=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$=id, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&2&1&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4\end{bmatrix}$$\}$. Grupy te sa izomorficzne, bo istnieje izmorfizm $f$ taki, ze: $f: H\rightarrow S_{3}$ $f(id)=id$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&3&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&2&1&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}$; $f($$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&3&2&4\end{bmatrix}$$)=$$\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}$. Funkcja $f$ jest bijekcja. To raczej widac. Czy trzeba to pokazac? Funkcja $f$ musi spelniac warunek $(\forall_{a, b\in H})$ $f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)$. Ale jak pokazac, ze go spelnia? Mozna sprawdzic po kolei wszystkie elementy, ale to czasochlonne. Czy juz nie ma potrzeby tego sprawdzac? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-12 16:14:52 IMO to najprostsze wyj艣cie, 偶e przypisujesz $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4 \\ a&b&c&4 \end{matrix}\right]\mapsto \left[\begin{matrix} 1&2&3 \\ a&b&c \end{matrix}\right]$ nie wymaga dodatkowych t艂umacze艅, bo wszelkie dzia艂ania po lewej stronie omijaj膮 element 4, a wszystkie inne zachowuj膮 si臋 po lewej i po prawej tak samo. Mo偶esz pokaza膰 z艂o偶enie powy偶szego, po lewej z permutacj膮 $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4 \\ a_0&b_0&c_0&4 \end{matrix}\right]$ po prawej z $\left[\begin{matrix} 1&2&3 \\ a_0&b_0&c_0 \end{matrix}\right]$ tak by by艂o najszybciej dla n element贸w (6 to nie jest du偶o, ale mog艂e艣 mie膰 przypadek og贸lny (n-1)! element贸w) |
geometria post贸w: 865 | 2017-11-12 20:22:00 b) $H\le S_{4}$; $Z_{3}=\{0, 1, 2\}$; $|Z_{3}|=3$. Grupa $H$ tez bedzie miec 3 elementy. $H=<$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$$>=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$$=id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$$\}$. $(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{0}=id$ $(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{1}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$ $(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})^{2}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix}$ Zatem grupa $H$ tez jest cykliczna, generatorem jest permutacja $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix}$. Wiec na podstawie twierdzenia grupy te sa izomorficzne. Jest tez izomorfizm $f: H\rightarrow Z_{3}$ taki, ze: $f(id)=0$; $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&1&2&4\end{bmatrix})=1$; $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&1&4\end{bmatrix})=2$. c) $H\le S_{4}$; $K_{4}=\{id=O_{0^{\circ}}, O_{180^{\circ}}, S_{1}, S_{2}\}$; $S_{1}$-symetria wzgledem osi poziomej, $S_{2}$-symetria wzgledem osi pionowej; $|K_{4}|=4$. Grupa $H$ tez bedzie miec 4 elementy. $H=\{$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}=id$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}\}$. Mamy izomorfizm $f: K_{4}\rightarrow H$ taki, ze: $f(id)=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}$; $f(O_{180^{\circ}})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}$; $f(S_{1})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{bmatrix}$; $f(S_{2})=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{bmatrix}$. |
geometria post贸w: 865 | 2018-11-10 21:36:11 a) $a,b,c,d,e,f\in \{1,2,3\}$ $\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\d&e&f&4\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\a&b&c&4\end{bmatrix}$$=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\...&...&...&4\end{bmatrix}$ Jak to z艂ozyc? $3\rightarrow c\rightarrow$ ? Na co przejda te literki? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj