logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5596

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-11-13 16:41:20

1. Czy istnieje homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$?
a)
$G=(Z, +), H=(Q, +), f(1)=7$

Czyli $(\forall_{a, b\in Z})
f(a+b)=f(a)+f(b) $.
$f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)=f(0)+7.$
Ale to mi za duzo chyba nie pomoze.


tumor
postów: 8085
2017-11-13 18:03:50

Powyżej dostajesz bardzo słuszną obserwację, że f(0)=0.

Ogólniej: homomorfizmy przeprowadzają elementy neutralne w elementy neutralne. Dziwne, jeśli nie było tej obserwacji na wykładzie, no ale zrobić samemu (czyli z moją pomocą) to też nie grzech.

Policz lepiej f(2), f(234234), f(-1), potem f(n) i f(-n). A potem powiedz, czy już masz homomorfizm.


geometria
postów: 854
2017-11-16 14:10:57

Zatem
$f(0)=0$
$f(1)=0+7=7$
$f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2\cdot f(1)=2\cdot 7=14$
$f(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3\cdot f(1)=3\cdot 7=21$
$...$
$f(n)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})=\underbrace{f(1)+f(1)+\ldots+f(1)}_{n}=n\cdot f(1)=n\cdot 7=7n$

Dalej korzystam z tego, ze $f(-n)=-f(n)=-7n$.

Ostatecznie ten homomorfizm to $f(n)=7n, n\in Z$.

Czy trzeba to jakos udowadniac?





tumor
postów: 8085
2017-11-17 21:56:24

I tak i nie.

Nie - bo jak się człowiek oswoi z homomorfizmami to tu patrzy sekundę i widzi, że jest, nie ma potrzeby drzew niszczyć na papier.

Tak - bo na razie poznajesz sposoby, jak udowadniać. Dla trudniejszych przykładów trzeba będzie właśnie to zrobić.
W tym przypadku jedynym działaniem jest dodawanie (przy innych strukturach może być więcej niż jedno działanie). Wystarczy napisać, że

$f(a+b)=7(a+b)=7a+7b=f(a)+f(b)$ dla wszystkich $a,b$ całkowitych

co kończy dowód, że odwzorowanie jest homomorfizmem.
(Pierwszym krokiem było zatem ustalenie wzoru naszego kandydata na homomorfizm, a drugim było sprawdzenie samej własności homomorfizmu).


Oprócz tego pamiętaj własności (np: że obraz grupy poprzez homomorfizm jest grupą, wobec tego gdy obraz nie jest grupą, to odwzorowanie nie byłoby homomorfizmem; albo też że homomorfizm przeprowadza element neutralny na neutralny, więc gdyby odwzorowanie tego nie robiło, to nie byłoby homomorfizmem etc). Gdy są rachunkowe kłopoty pokazać wprost, że coś jest homomorfizmem albo nim nie jest, to się korzysta z dowiedzionych własności homomorfizmów (jeśli masz większą listę zadań z tym samym poleceniem, to raczej będą tam przykłady, w których wygodnie jest skorzystać właśnie z takich własności).


geometria
postów: 854
2017-11-20 21:59:21

b) $G=(Z, +), H=(Z, +), f(2)=7$
$f(0)=0$
$f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=7$
$f(1)=\frac{7}{2}\notin Z$. Zatem taki homomorfizm nie istnieje.

Czy mozna tak stwierdzic na powyzszej podstawie?


tumor
postów: 8085
2017-11-21 02:28:00

Tak, to jest ok.


geometria
postów: 854
2017-11-21 15:34:19

c) $G=(Z_{4}, +_{4}), H=(Z_{5}, +_{5}), f(1)=1$
Ponadto mam zdefiniowane dodawanie modulo $n$ jako $a+_{n} b=r_{n}(a+b)$.

Zatem
$Z_{4}=\{0,1,2,3\}, Z_{5}=\{0,1,2,3,4\}$
$f(0)=0$
$f(1)=1$
$f(2)=f(1+_{4} 1)=f(1)+_{5} f(1)=1+_{5} 1=r_{5}(2)=2$ (rezta z dzielenia 2 przez 5)
$f(3)=f(1+_{4} 1+_{4} 1)=f(1)+_{5} f(1)+_{5} f(1)=1+_{5} 1+_{5} 1=r_{5}(3)=3$

Czyli ten homomorfizm jest okreslony tak jak pozwyzej (wymienione wartosci dla wszystkich argumentow), ogolniej $f(n)=n$ dla $n\in Z_{4}$.

Ale jak wykazac, ze to homomorfizm?
Wowczas trzeba pokazac, ze $f(a+_{4} b)=f(a)+_{5} f(b)$.


tumor
postów: 8085
2017-11-22 02:26:08

Podzbiór $\{0,1,2,3\}$ zbioru $\{0,1,2,3,4\}$ nie jest zamknięty na dodawanie modulo 5. Wobec tego obraz tej funkcji NIE jest grupą.

Obraz grupy poprzez homomorfizm JEST grupą.
A powyższy NIE jest grupą.




geometria
postów: 854
2017-11-23 21:48:02

Ok.

d) $f: (R\backslash \{0\}, \cdot)\rightarrow (R, +), f(1)=7$.

$e_{R\backslash \{0\}}=1, e_{R}=0$
Nie istnieje taki homomorfizm $f$, bo $f(1)=0$ sprzecznosc z $f(1)=7$, $0\neq 7$.


tumor
postów: 8085
2017-11-24 08:31:05

tak

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 98 drukuj