Algebra, zadanie nr 5596
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-11-13 16:41:201. Czy istnieje homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$? a) $G=(Z, +), H=(Q, +), f(1)=7$ Czyli $(\forall_{a, b\in Z}) f(a+b)=f(a)+f(b) $. $f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)=f(0)+7.$ Ale to mi za duzo chyba nie pomoze. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-13 18:03:50 Powy偶ej dostajesz bardzo s艂uszn膮 obserwacj臋, 偶e f(0)=0. Og贸lniej: homomorfizmy przeprowadzaj膮 elementy neutralne w elementy neutralne. Dziwne, je艣li nie by艂o tej obserwacji na wyk艂adzie, no ale zrobi膰 samemu (czyli z moj膮 pomoc膮) to te偶 nie grzech. Policz lepiej f(2), f(234234), f(-1), potem f(n) i f(-n). A potem powiedz, czy ju偶 masz homomorfizm. |
geometria post贸w: 865 | 2017-11-16 14:10:57 Zatem $f(0)=0$ $f(1)=0+7=7$ $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2\cdot f(1)=2\cdot 7=14$ $f(3)=f(1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3\cdot f(1)=3\cdot 7=21$ $...$ $f(n)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})=\underbrace{f(1)+f(1)+\ldots+f(1)}_{n}=n\cdot f(1)=n\cdot 7=7n$ Dalej korzystam z tego, ze $f(-n)=-f(n)=-7n$. Ostatecznie ten homomorfizm to $f(n)=7n, n\in Z$. Czy trzeba to jakos udowadniac? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-17 21:56:24 I tak i nie. Nie - bo jak si臋 cz艂owiek oswoi z homomorfizmami to tu patrzy sekund臋 i widzi, 偶e jest, nie ma potrzeby drzew niszczy膰 na papier. Tak - bo na razie poznajesz sposoby, jak udowadnia膰. Dla trudniejszych przyk艂ad贸w trzeba b臋dzie w艂a艣nie to zrobi膰. W tym przypadku jedynym dzia艂aniem jest dodawanie (przy innych strukturach mo偶e by膰 wi臋cej ni偶 jedno dzia艂anie). Wystarczy napisa膰, 偶e $f(a+b)=7(a+b)=7a+7b=f(a)+f(b)$ dla wszystkich $a,b$ ca艂kowitych co ko艅czy dow贸d, 偶e odwzorowanie jest homomorfizmem. (Pierwszym krokiem by艂o zatem ustalenie wzoru naszego kandydata na homomorfizm, a drugim by艂o sprawdzenie samej w艂asno艣ci homomorfizmu). Opr贸cz tego pami臋taj w艂asno艣ci (np: 偶e obraz grupy poprzez homomorfizm jest grup膮, wobec tego gdy obraz nie jest grup膮, to odwzorowanie nie by艂oby homomorfizmem; albo te偶 偶e homomorfizm przeprowadza element neutralny na neutralny, wi臋c gdyby odwzorowanie tego nie robi艂o, to nie by艂oby homomorfizmem etc). Gdy s膮 rachunkowe k艂opoty pokaza膰 wprost, 偶e co艣 jest homomorfizmem albo nim nie jest, to si臋 korzysta z dowiedzionych w艂asno艣ci homomorfizm贸w (je艣li masz wi臋ksz膮 list臋 zada艅 z tym samym poleceniem, to raczej b臋d膮 tam przyk艂ady, w kt贸rych wygodnie jest skorzysta膰 w艂a艣nie z takich w艂asno艣ci). |
geometria post贸w: 865 | 2017-11-20 21:59:21 b) $G=(Z, +), H=(Z, +), f(2)=7$ $f(0)=0$ $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=7$ $f(1)=\frac{7}{2}\notin Z$. Zatem taki homomorfizm nie istnieje. Czy mozna tak stwierdzic na powyzszej podstawie? |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-21 02:28:00 Tak, to jest ok. |
geometria post贸w: 865 | 2017-11-21 15:34:19 c) $G=(Z_{4}, +_{4}), H=(Z_{5}, +_{5}), f(1)=1$ Ponadto mam zdefiniowane dodawanie modulo $n$ jako $a+_{n} b=r_{n}(a+b)$. Zatem $Z_{4}=\{0,1,2,3\}, Z_{5}=\{0,1,2,3,4\}$ $f(0)=0$ $f(1)=1$ $f(2)=f(1+_{4} 1)=f(1)+_{5} f(1)=1+_{5} 1=r_{5}(2)=2$ (rezta z dzielenia 2 przez 5) $f(3)=f(1+_{4} 1+_{4} 1)=f(1)+_{5} f(1)+_{5} f(1)=1+_{5} 1+_{5} 1=r_{5}(3)=3$ Czyli ten homomorfizm jest okreslony tak jak pozwyzej (wymienione wartosci dla wszystkich argumentow), ogolniej $f(n)=n$ dla $n\in Z_{4}$. Ale jak wykazac, ze to homomorfizm? Wowczas trzeba pokazac, ze $f(a+_{4} b)=f(a)+_{5} f(b)$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-22 02:26:08 Podzbi贸r $\{0,1,2,3\}$ zbioru $\{0,1,2,3,4\}$ nie jest zamkni臋ty na dodawanie modulo 5. Wobec tego obraz tej funkcji NIE jest grup膮. Obraz grupy poprzez homomorfizm JEST grup膮. A powy偶szy NIE jest grup膮. |
geometria post贸w: 865 | 2017-11-23 21:48:02 Ok. d) $f: (R\backslash \{0\}, \cdot)\rightarrow (R, +), f(1)=7$. $e_{R\backslash \{0\}}=1, e_{R}=0$ Nie istnieje taki homomorfizm $f$, bo $f(1)=0$ sprzecznosc z $f(1)=7$, $0\neq 7$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-11-24 08:31:05 tak |
| strony: 1 2 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj