logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5597

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-11-14 22:32:46

Male twierdzenie Fermata:
Jezeli $p$ jest liczba pierwsza i $a\in Z$ t. ze $p\nmid a$, to $p\mid a^{p-1}-1$.

1. Obliczyc reszte z dzielenia $r_{29}(321^{485})$.

Jak zastosowac to twierdzenie? W ktorym miejscu?

Jakby to wygladalo w powyzszym zadaniu?


tumor
postów: 8085
2017-11-15 22:07:37

$ p|a^{p-1}-1$ oznacza tyle samo co stwierdzenie, że
$a^{p-1} \equiv 1 (mod\quad p)$
czyli że resztą z dzielenia liczby $a^{p-1}$ przez p jest 1.

Naucz się dość płynnie skakać między różnymi zapisami tej samej rzeczy, w tym przypadku to bardzo ułatwia życie.

W tym przypadku oczywiście 29 nie jest dzielnikiem 321, więc
$321^{28}$ daje resztę 1 przy dzieleniu przez 29.

----

Do tego dojdzie dość oczywisty fakt, że jeśli a,b są resztami z dzielenia przez p liczb odpowiednio x,y, to xy przystaje do ab modulo p.


geometria
postów: 854
2017-11-23 20:45:46

1.
$321\equiv 2 (mod 29)$
$485\equiv 9 (mod 28)$
Zatem
$r_{29}(321^{485})=r_{29}(2^{485})=r_{29}(2^9)=?$


geometria
postów: 854
2017-11-23 21:53:10

2.
$321\equiv 11 (mod 31)$
$485\equiv 5 (mod 30)$
$r_{31}(321^{485})=r_{31}(11^{485})=r_{31}(11^{5})=?$


tumor
postów: 8085
2017-11-24 08:28:54

końcówka ręcznie, to już są łatwe obliczenia.


geometria
postów: 854
2017-11-25 23:07:18

3.
Wyznacz $r_{28}(35^{230})$.

Tutaj 28 nie jest liczba pierwsza, wiec nie mozna skorzystac z malego twierdzenia Fermata.




tumor
postów: 8085
2017-11-27 12:00:52

Mocniejsze od MTF jest tw. Eulera o liczbach względnie pierwszych.

Tu oczywiście 28 i 35 nie są względnie pierwsze, ale może da się powiedzieć coś o reszcie z dzielenia? hm?


geometria
postów: 854
2019-01-09 12:19:09

3.
$28=4\cdot 7$
$4$ i $7$ sa wzglednie pierwsze.

Reszta z dzielenia $35^{230}$ przez $4$ i przez $7$.


geometria
postów: 854
2019-01-10 15:35:00

Jakies dalsze wskazowki?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj