logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 5608

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

white_croppy
postów: 1
2017-11-23 14:27:10

1. dla każdego zbioru A ⊆ X spełniony jest warunek
f(cl A)\subset cl(f(A))
gdzie cl A oznacza domknięcie zbioru A,zaś f jest ciagła.
Proszę o pomoc w przeprowadzeniu dowodu,że tak jest gdy f jest ciągła.
2. Jesli f,g:X\rightarrow Y sa ciągłe to {x\in X:f(x)=g(x)} jest domkniety w X .Tu również proszę o pomoc z dowodem :/
Sa to zad z topologi z 2 roku matematyki



tumor
postów: 8085
2017-11-24 22:27:03

1. weźmy $f(x)\in f(clA)$, czyli $x\in cl A$. Każde otoczenie $U$ punktu $x$ ma niepusty przekrój z $A$.
Niech $V$ będzie otoczeniem punktu $f(x)$. $f^{-1}(V)$ jest otwartym otoczeniem punktu $x$ (z warunku ciągłości $f$), wobec tego
$f^{-1}(V)\cap A\neq \emptyset$
czyli
$V\cap f(A)\neq \emptyset$

2. Łatwiej udowodnić, że bez dodatkowych założeń nie jest to prawdą. W przyszłości polecam pisać wszelkie założenia, także te wspomniane na początku wykładu albo zestawu zadań.

Niech $X=Y=\{a,b,c\}$ antydyskretna (to znaczy jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń).
$f(x)=x$
$g(a)=a, g(b)=c, g(c)=b$
Funkcje w przestrzeń antydyskretną są zawsze ciągłe, czyli $f,g$ ciągłe.
Ale $\{a\}$ nie jest domknięty w X.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 121 drukuj