logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5613

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-11-27 20:31:51

Znalezc $k\in N_{+}$ takie, ze $Z_{8}/6Z_{8}\cong Z_{k}$.




tumor
postów: 8085
2017-11-28 11:19:09

Jeśli dobrze rozumiem
$6Z_8=\{6n:n\in Z_8\}=\{0,2,4,6\}$ z dodawaniem mod 8,

Jest to podgrupa normalna $Z_8$. Ile warstw wyznacza?

(Zapoznaj się z pierwszym tw. o izomorfizmie)


geometria
postów: 854
2017-11-28 23:24:55

$Z_{8}/6Z_{8}=\{\{0,2,4,6\}, \{1,3,5,7\}\}$. Jej moc to 2.

Zatem $k=2$.

Mozna tez skorzystac z tw. Lagrange'a.

b) $Z_{12}/5Z_{12}\cong Z_{k}$

$Z_{12}/5Z_{12}=\{Z_{12}=5Z_{12}\}$. Jej moc to 1.

Zatem $k=1$. $Z_{1}=\{0\}$.




tumor
postów: 8085
2017-11-29 10:32:30

Jest ok.
Dla tych przykładów nie jest to konieczne, ale tw. o izomorfizmie jest sensownym narzędziem w niejednym zadaniu.

a) Problem polega na znalezieniu homomorfizmu określonego na $Z_8$. Będzie
$f(x)=x(mod2)$.
Wtedy jądrem homomorfizmu jest $6Z_8$, obrazem $Z_2$, automatycznie zatem dostajemy szukaną relację izomorfizmu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 12 drukuj