logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5615

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2017-11-29 00:00:37

Czy ponizsze podgrupy $H\le G$ sa dzielnikami normalnymi?
1) $H=(Z,+), G=(R, +)$
Podgrupa $H$ jest dzielnikiem normalnym $G$, gdy dla kazdego $g\in G$ i dla kazdego $h\in H$ $ghg^{-1}\in H$ (addytywnie $g+h-g=h\in H$).

Ponadto w kazdej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym.

Grupa $G=(R, +)$ jest przemienna. Zatem grupa $(Z, +)$ jest dzielnikiem normalnym w $(R, +)$.

2.
$H=\{id, O_{90}, O_{180}, O_{270}\}, G=D_{4}$

Podgrupa indeksu 2 zawsze jest dzielnikiem normalnym.

$[D_{4} : H]=2$. Zatem jest to dzielnik normalny.

3. $H=\{id, S\}, G=D_{4}$, gdzie $S$ jest dowolna symetria osiowa z $D_{4}$

4. $H=\{id, O_{180}\}, G=D_{4}$





tumor
postów: 8070
2017-11-29 10:41:54

1) ok. W praktyce w pierwszym argumencie, pisząc g+h-g=h korzystasz z przemienności, więc tak czy inaczej to na przemienność wypada się tu powołać.

2) ok

3) to ja mam robić?
Jeśli nie ma pomysłu, to sprawdzaj ręcznie, czy w każdym przypadku
$ghg^{-1}\in H$, tych przypadków nie jest aż tak dużo (id nie ma co sprawdzać, w końcu $g\circ id \circ g^{-1}=id\in H$ zawsze)




geometria
postów: 863
2018-11-21 17:46:24

3. Ale $H=\{id, S\}$ nie jest podgrupa $D_4$, wiec nie moze byc dzielnikiem normalnym.


tumor
postów: 8070
2018-11-21 20:50:37

A jak sprawdzasz, że to nie jest podgrupa?


geometria
postów: 863
2018-11-22 09:55:35

3. Jest podgrupa. Pomylilo mi sie. :)
Bo ja w pierwszej chwili myslalem, ze do $H$ nalezą wszystkie cztery symetrie (wowczas $H$ nie byloby podgrupa, bo zlozenie symetrii osiowych jest obrotem, ktorego (oprocz obrotu zerowego) nie ma w $H$ a w ostatecznosci $H$ nie byloby dzielnikiem normalnym $D_{4}$).
Ale do $H$ nalezy tylko jedna (ale dowolna) z czterech symetrii z $D_{4}$.
Wowczas, gdy $H=\{id, S\}$, to jest to podgrupa $D_{4}$.
Ale nie jest ona dzielnikiem normalnym w $D_4$, bo np. gdy $H=\{id, S_{1}\}$ mamy:
$O_{90^{\circ}}S_1O_{270^{\circ}}=S_3O_{270^{\circ}}=S_2\notin H$.

4. $H=\{id, O_{180{\circ}}\}$ jest dzielnikiem normalnym $D_4$, bo:
$O_{90^{\circ}}O_{180^{\circ}}O_{270^{\circ}}=O_{270^{\circ}}O_{270^{\circ}}=O_{180^{\circ}}\in H$
$O_{180^{\circ}}O_{180^{\circ}}O_{180^{\circ}}=idO_{180^{\circ}}=O_{180^{\circ}}\in H$
$O_{270^{\circ}}O_{180^{\circ}}O_{90^{\circ}}=O_{90^{\circ}}O_{270^{\circ}}=O_{360^{\circ}}=id\in H$
(kazda z symetrii jest swoja odwrotnoscia)
$S_{1}O_{180^{\circ}}S_{1}=S_{2}S_{1}=O_{180^{\circ}}\in H$
$S_{2}O_{180^{\circ}}S_{2}=S_{1}S_{2}=O_{180^{\circ}}\in H$
$S_{3}O_{180^{\circ}}S_{3}=S_{4}S_{3}=O_{180^{\circ}}\in H$
$S_{4}O_{180^{\circ}}S_{4}=S_{3}S_{4}=O_{180^{\circ}}\in H$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj