logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5617

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-12-04 20:46:26

Grupa przeksztalcen afinicznych prostej to ponizszy zbior funkcji $R\rightarrow R$:
$A=\{x\mapsto ax+b : a,b\in R, a\neq 0\}$.
Niech $H=\{\begin{bmatrix} a&b\\0&1\end{bmatrix} : a,b\in R, a\neq 0\}$. Udowodnic, ze $A\cong H$.

Grupy sa izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm.

Niech $f$ bedzie takim izomorfizmem.
$f:A\rightarrow H$
$f(ax+b)=\begin{bmatrix} a&b\\0&1\end{bmatrix}$ jest bijekcja.
A jak pokazac, ze to homomorfizm?
Czy moze jest lepszy sposob, aby pokazac ich izmorficznosc?


tumor
postów: 8085
2017-12-05 00:30:40

Pokazać, że złożenie dwóch przekształceń afinicznych będzie odpowiadać pomnożeniu dwóch macierzy. (Po prostu bezpośrednie sprawdzenie warunku homomorfizmu dla działań w grupach)


geometria
postów: 854
2017-12-05 15:57:22

Czyli
Niech $g(x)=ax+b$, $h(x)=cx+d$.
Mam pokazac, ze $f(gh)=f(g)f(h)$.
$g\circ h=g(h(x))=g(cx+d)=acx+ad+b$.
$f(gh)=f(acx+ad+b)=\begin{bmatrix} ac&ad+b\\0&1\end{bmatrix}$
$f(g)\circ f(h)=\begin{bmatrix} a&b\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c&d\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ac&ad+b\\0&1\end{bmatrix}$
Zatem $f(gh)=f(g)f(h)$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 47 drukuj