logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5618

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-12-04 21:23:16

Znalezc nietrywialne podgrupy $A, B\lt Z_{15}$ takie, ze funkcja $f: A\times B\rightarrow Z_{15}$,$ f(a,b)=a+_{15}$ $b$ jest izmorfizmem.

Nietrywialne, czyli niejednoelementowe.
$15=3\cdot 5$

Niech $A=Z_{3}, B=Z_{5}$.
Wowczas $Z_{3}\times Z_{5}\cong Z_{15}$, bo $NWD(3,5)=1$.

Ale czy to wszystkie?


tumor
postów: 8085
2017-12-05 00:25:29

Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna (dowód podasz?).

Wobec tego $Z_{15}$ ma tylko podgrupy 1,3,5,15-elementowe cykliczne, czyli izomorficzne z $Z_1, Z_3, Z_5, Z_{15}$. Natomiast nie chodzi tu bezpośrednio o grupę $Z_3$, ale o grupę $\{0,5,10\}$ z $+_{15}$ i analogicznie nie chodzi o $Z_5$, ale izomorficzną z nią $\{0,3,6,9,12\}$ z $+_{15}$

Bo dosłownie rozumując $f:Z_3\times Z_5 \to Z_{15}$ dane wzorem $f(a,b)=a+_{15}b$ nie jest nawet bijekcją (można otrzymać tylko elementy 0,1,2,3,4,5,6)

Wiadomość była modyfikowana 2017-12-05 00:27:22 przez tumor

geometria
postów: 854
2017-12-05 18:25:10

Nie wiem czy moje spostrzezenie jest dobre, ale zauwazylem, ze elementami grupy $A=\{0,5,10\}$ izomorficznej z $Z_{3}$ sa wielokrotnosci liczby $5$, natomiast elementami grupy $B=\{0,3,6,9,12\}$ izomorficznej z $Z_{5}$ sa wielokrotnosci liczby $3$.

Czyli ostatecznie sa 2 takie podgrupy.


geometria
postów: 854
2017-12-05 21:56:29

Mozna tez skorzystac z twierdzenia o produkcie wewnetrznym.

A jakby zamiast $Z_{15}$ bylo $Z_{20}$.
Wowczas: $20=4\cdot 5$, $NWD(4,5)=1$.
Te podgrupy to:$A=\{0,5,10,15\}$, $B=\{0,4,8,12,16\}$. $Z_{20}$ jest produktem wewnetrznym $A$ i $B$ i z tw. o produkcie wewnetrznym $A\times B\cong Z_{20}$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 104 drukuj