logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5625

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-12-10 23:43:52

Wypisac wszystkie generatory nastepujacych grup cyklicznych:
a) $(Z, +)$
b) $(Z_{24}, +_{24})$
c) $(Z_{35}, +_{35})$

a) Generatory grupy $(Z, +)$ to $<-1>$ i $<1>$.
b)
Dzielniki liczby $24$ to: $1,2,3,4,6,8,12,24$.
I teraz mam szukac tych generatorow w nastepujacy sposob?
$<1>=\{0, 1\cdot 1, 1\cdot 2, 1\cdot 3, 1\cdot 4, ..., 1\cdot n\}$
$<2>=\{0, 2\cdot 1, 2\cdot 2, 2\cdot 3, 2\cdot 4, ..., 2\cdot n\}$
$<3>=\{0, 3\cdot 1, 3\cdot 2, 3\cdot 3, 3\cdot 4, ..., 3\cdot n\}$
$...$
$<24>=\{0, 24\cdot 1, 24\cdot 2, 24\cdot 3, 24\cdot 4, ..., 24\cdot n\}$
c)
Dzielniki liczby $35$ to: $1,5,7,35$.
Analogicznie jak w b).


tumor
postów: 8085
2017-12-10 23:54:09

b) Tak, ręczne sprawdzenie to wariant prosty, łopatologiczny. Gdy już umiesz to wykonać, czas pomyśleć o uogólnieniu w postaci twierdzenia.

Które elementy $Z_n$ będą generatorami?


geometria
postów: 854
2017-12-11 06:54:42

Wydaje mi sie, ze wzglednie pierwsze z $n$.


tumor
postów: 8085
2017-12-11 09:51:00

To teraz wypada to udowodnić.

Lemacik
Jeśli $k<n$ jest względnie pierwsze z $n$, to liczby: $0, k, 2k,..., (n-1)k$ mają parami różne reszty z dzielenia przez $n$.
Dowodzik
Gdyby bowiem dwie reszty były identyczne, to znaczy
$ak\equiv bk (mod \mbox{ }n)$ dla $a,b\in \{0,1,...,n-1\}$
to
$(a-b)k\equiv 0 (mod \mbox{ }n)$
$k$ jest względnie pierwsze z n, czyli $n|(a-b)$, co jest możliwe tylko dla $a=b$.

Skoro liczby $0, k, 2k,..., (n-1)k$ mają parami różne reszty z dzielenia przez $n$, a reszt tych jest $n$, to reszty muszą wynosić $0,1,2,...,n-1$ (nie interesuje nas kolejność, oczywiście), czyli w ten sposób załatwiamy wszystkie elementy grupy $Z_n$ z dodawaniem mod $n$, zatem element $k$ jest generatorem.


-----

Tobie zostawimy dowód, że jeśli $NWD(k,n)>1$, to $k$ nie jest generatorem $Z_n$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 38 drukuj