Algebra, zadanie nr 5625
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-12-10 23:43:52Wypisac wszystkie generatory nastepujacych grup cyklicznych: a) $(Z, +)$ b) $(Z_{24}, +_{24})$ c) $(Z_{35}, +_{35})$ a) Generatory grupy $(Z, +)$ to $<-1>$ i $<1>$. b) Dzielniki liczby $24$ to: $1,2,3,4,6,8,12,24$. I teraz mam szukac tych generatorow w nastepujacy sposob? $<1>=\{0, 1\cdot 1, 1\cdot 2, 1\cdot 3, 1\cdot 4, ..., 1\cdot n\}$ $<2>=\{0, 2\cdot 1, 2\cdot 2, 2\cdot 3, 2\cdot 4, ..., 2\cdot n\}$ $<3>=\{0, 3\cdot 1, 3\cdot 2, 3\cdot 3, 3\cdot 4, ..., 3\cdot n\}$ $...$ $<24>=\{0, 24\cdot 1, 24\cdot 2, 24\cdot 3, 24\cdot 4, ..., 24\cdot n\}$ c) Dzielniki liczby $35$ to: $1,5,7,35$. Analogicznie jak w b). |
tumor post贸w: 8070 | 2017-12-10 23:54:09 b) Tak, r臋czne sprawdzenie to wariant prosty, 艂opatologiczny. Gdy ju偶 umiesz to wykona膰, czas pomy艣le膰 o uog贸lnieniu w postaci twierdzenia. Kt贸re elementy $Z_n$ b臋d膮 generatorami? |
geometria post贸w: 865 | 2017-12-11 06:54:42 Wydaje mi sie, ze wzglednie pierwsze z $n$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-12-11 09:51:00 To teraz wypada to udowodni膰. Lemacik Je艣li $k<n$ jest wzgl臋dnie pierwsze z $n$, to liczby: $0, k, 2k,..., (n-1)k$ maj膮 parami r贸偶ne reszty z dzielenia przez $n$. Dowodzik Gdyby bowiem dwie reszty by艂y identyczne, to znaczy $ak\equiv bk (mod \mbox{ }n)$ dla $a,b\in \{0,1,...,n-1\}$ to $(a-b)k\equiv 0 (mod \mbox{ }n)$ $k$ jest wzgl臋dnie pierwsze z n, czyli $n|(a-b)$, co jest mo偶liwe tylko dla $a=b$. Skoro liczby $0, k, 2k,..., (n-1)k$ maj膮 parami r贸偶ne reszty z dzielenia przez $n$, a reszt tych jest $n$, to reszty musz膮 wynosi膰 $0,1,2,...,n-1$ (nie interesuje nas kolejno艣膰, oczywi艣cie), czyli w ten spos贸b za艂atwiamy wszystkie elementy grupy $Z_n$ z dodawaniem mod $n$, zatem element $k$ jest generatorem. ----- Tobie zostawimy dow贸d, 偶e je艣li $NWD(k,n)>1$, to $k$ nie jest generatorem $Z_n$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj