Algebra, zadanie nr 5626

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2017-12-10 23:56:33 1. $f: (R^{2}, +)\rightarrow (R, +)$; $f(x, y)=2x+3y$ i $f$ to epimorfizm grup. a) znalezc $ker(f)$ b) wskazac podgupe $H<(R^{2}, +)$ taka, ze $(R^{2}, +$) jest produktem wewnetrznym podgrup $ker(f)$ i $H$. W szczegolnosci $(R^{2}, +)\cong ker(f)\times H$. a) $ker(f)=\{(x,y)\in R^{2}: 2x+3y=0\}=\{(x,y)\in R^{2}: y=-\frac{2}{3}x\}=\{(x, -\frac{2}{3}x): x\in R\}$ b) $H$ i $ker(f)$ musza spelniac warunki: 1) $H\cap ker(f)=\{(0,0)\}$ 2) $H+ker(f)=(R^{2}, +)$ 3) $(R^{2}, +)$ przemienna zatem $H$ tez bedzie przemienna. Ja napisalbym taka podgrupe $H=\{(0,0)\}\cup (R^{2}\backslash ker(f))$.

tumor postów: 8070	2017-12-11 00:02:32 A masz pewność, że to podgrupa?

geometria postów: 865	2017-12-11 07:17:54 Nie jest podgrupa, bo (-1,4)+(4,-6)=(3, -2)$\notin H$.

tumor postów: 8070	2017-12-11 09:32:16 A w ogóle to można sobie geometrię (algebrę liniową) przypomnieć. $R^2$ to płaszczyzna, przestrzeń liniowa. $2x+3y=0$ to podprzestrzeń liniowa. Warunek bycia iloczynem wewnętrznym jest równoważny jednoznaczności przedstawienia elementu grupy $R^2$ w postaci $gh$, gdzie $g\in ker(f), h\in H$. Ale jednoznaczne przedstawienie już się może kojarzyć z kombinacją liniową, prawda? Z bazą? Umiesz rozszerzyć bazę podprzestrzeni $2x+3y=0$ do bazy przestrzeni $R^2$ przez dodanie jednego wektora? A jaką podprzestrzeń przestrzeni $R^2$ rozpina ten wektor? Czy dodawanie wektorów nie miało aby własności grupy? (oczywiście grupę zapisałem w notacji multiplikatywnej, ale w addytywnej będzie już bardziej przypominać dodawanie wektorów)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj