Algebra, zadanie nr 5626
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2017-12-10 23:56:331. $f: (R^{2}, +)\rightarrow (R, +)$; $f(x, y)=2x+3y$ i $f$ to epimorfizm grup. a) znalezc $ker(f)$ b) wskazac podgupe $H<(R^{2}, +)$ taka, ze $(R^{2}, +$) jest produktem wewnetrznym podgrup $ker(f)$ i $H$. W szczegolnosci $(R^{2}, +)\cong ker(f)\times H$. a) $ker(f)=\{(x,y)\in R^{2}: 2x+3y=0\}=\{(x,y)\in R^{2}: y=-\frac{2}{3}x\}=\{(x, -\frac{2}{3}x): x\in R\}$ b) $H$ i $ker(f)$ musza spelniac warunki: 1) $H\cap ker(f)=\{(0,0)\}$ 2) $H+ker(f)=(R^{2}, +)$ 3) $(R^{2}, +)$ przemienna zatem $H$ tez bedzie przemienna. Ja napisalbym taka podgrupe $H=\{(0,0)\}\cup (R^{2}\backslash ker(f))$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-12-11 00:02:32 A masz pewno艣膰, 偶e to podgrupa? |
geometria post贸w: 865 | 2017-12-11 07:17:54 Nie jest podgrupa, bo (-1,4)+(4,-6)=(3, -2)$\notin H$. |
tumor post贸w: 8070 | 2017-12-11 09:32:16 A w og贸le to mo偶na sobie geometri臋 (algebr臋 liniow膮) przypomnie膰. $R^2$ to p艂aszczyzna, przestrze艅 liniowa. $2x+3y=0$ to podprzestrze艅 liniowa. Warunek bycia iloczynem wewn臋trznym jest r贸wnowa偶ny jednoznaczno艣ci przedstawienia elementu grupy $R^2$ w postaci $gh$, gdzie $g\in ker(f), h\in H$. Ale jednoznaczne przedstawienie ju偶 si臋 mo偶e kojarzy膰 z kombinacj膮 liniow膮, prawda? Z baz膮? Umiesz rozszerzy膰 baz臋 podprzestrzeni $2x+3y=0$ do bazy przestrzeni $R^2$ przez dodanie jednego wektora? A jak膮 podprzestrze艅 przestrzeni $R^2$ rozpina ten wektor? Czy dodawanie wektor贸w nie mia艂o aby w艂asno艣ci grupy? (oczywi艣cie grup臋 zapisa艂em w notacji multiplikatywnej, ale w addytywnej b臋dzie ju偶 bardziej przypomina膰 dodawanie wektor贸w) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj