logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5626

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2017-12-10 23:56:33

1. $f: (R^{2}, +)\rightarrow (R, +)$; $f(x, y)=2x+3y$ i $f$ to epimorfizm grup.
a) znalezc $ker(f)$
b) wskazac podgupe $H<(R^{2}, +)$ taka, ze $(R^{2}, +$) jest produktem wewnetrznym podgrup $ker(f)$ i $H$. W szczegolnosci $(R^{2}, +)\cong ker(f)\times H$.

a) $ker(f)=\{(x,y)\in R^{2}: 2x+3y=0\}=\{(x,y)\in R^{2}: y=-\frac{2}{3}x\}=\{(x, -\frac{2}{3}x): x\in R\}$
b) $H$ i $ker(f)$ musza spelniac warunki:
1) $H\cap ker(f)=\{(0,0)\}$
2) $H+ker(f)=(R^{2}, +)$
3) $(R^{2}, +)$ przemienna zatem $H$ tez bedzie przemienna.

Ja napisalbym taka podgrupe
$H=\{(0,0)\}\cup (R^{2}\backslash ker(f))$.



tumor
postów: 8085
2017-12-11 00:02:32

A masz pewność, że to podgrupa?


geometria
postów: 854
2017-12-11 07:17:54

Nie jest podgrupa, bo (-1,4)+(4,-6)=(3, -2)$\notin H$.


tumor
postów: 8085
2017-12-11 09:32:16

A w ogóle to można sobie geometrię (algebrę liniową) przypomnieć.

$R^2$ to płaszczyzna, przestrzeń liniowa.
$2x+3y=0$ to podprzestrzeń liniowa.

Warunek bycia iloczynem wewnętrznym jest równoważny jednoznaczności przedstawienia elementu grupy $R^2$ w postaci $gh$, gdzie $g\in ker(f), h\in H$. Ale jednoznaczne przedstawienie już się może kojarzyć z kombinacją liniową, prawda? Z bazą? Umiesz rozszerzyć bazę podprzestrzeni $2x+3y=0$ do bazy przestrzeni $R^2$ przez dodanie jednego wektora? A jaką podprzestrzeń przestrzeni $R^2$ rozpina ten wektor? Czy dodawanie wektorów nie miało aby własności grupy? (oczywiście grupę zapisałem w notacji multiplikatywnej, ale w addytywnej będzie już bardziej przypominać dodawanie wektorów)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj