logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5628

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pidzej
postów: 1
2017-12-13 15:07:48

Oblicz ekstremum funkcji 3 zmiennych f(x,y,z) = xyz(4 - x - y -z)
Wiem, że trzeba policzyć pochodne pierwszego stopnia i wychodzą mi takie:
\frac{def}{dex} = yz(4-2x-y-z)
\frac{def}{dey}= xz(4-x-2y-z)
\frac{def}{dez} = xy(4-x-y-2z)
No i trzeba je przyrównać do zera i wychodzi układ równań
I tu się zaczynają schody bo dla x,y,z≠0 wychodzi punkt stacjonarny (1,1,1) i dla niego potrafię policzyć, ale przy założeniach, że np. dwie zmienne są zerowe dostaję zbiór punktów (x,0,0),(0,y,0),(0,0,z) gdzie x,y,z mogą być dowolne.
A przy założeniach, że 2 są niezerowe dostaję:
x=0 y,z≠0 4-y-z=0
y=0 x,z≠0 4-x-z=0
z=0 x,y≠0 4-x-y=0
Czy ktoś wie co będzie i jak wyliczyć to w tych przypadkach?


tumor
postów: 8085
2018-01-03 09:35:31

Jeśli wiesz, że pochodne zerują się wzdłuż pewnej krzywej, wystarczy rozważyć tę krzywą. Na przykład
x=0, 4-y-z=0 po podstawieniu do f(x,y,z) da nam
f(x,y,z)=0
czyli dla wszystkich punktów (x,y,z) na krzywej (która jest prostą, ale teoretycznie być nie musi) dostajesz tę samą wartość funkcji. Czyli nie ma tam ekstremum właściwego (bo w każdym sąsiedztwie są punkty o tej samej wartości funkcji), ale możesz mieć słabe ekstremum. W tym celu należy się zastanowić, czy w sąsiedztwie punktu (0,y,4-y) funkcja f(x,y,z) przyjmuje wartości większe/mniejsze od 0.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj