logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 567

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-10-27 10:29:55

obliczyć objętość bryły w $R^{3}$ ograniczonej powierzchniami 3z=$x^{2}+y^{2}$, z=2.

Chodzi tutaj o zastosowanie całki podwójnej ale kompletnie nie wiem jakie będą tutaj granice całkowania i po których zmiennych należy całkować.

Jeśli ktoś ma pomysł jak możnaby rozwiązać to zad to proszę o podzielenie się.z góry dzięki


tumor
postów: 8085
2012-10-27 14:16:02

Nie wiem, jaki tu należy mieć pomysł, skoro z góry wiadomo, że całkujemy. :)

Widzisz w ogóle bryłę? :)
$3z=x^2+y^2$ to paraboloida, wyobraź sobie parabolę i obracaj ją względem osi symetrii, dostaniesz właśnie to. Czyli taka miska nieskończona. ;)

$z=2$ to płaszczyzna. Czyli po prostu ucinamy na wysokości 2 poziomą płaszczyzną naszą nieskończoną miskę tworząc skończoną miskę. I to bryła do liczenia.

Bryła jest symetryczna. Całkować to można na (prawie) milion sposobów. Można wykorzystać symetrię i nie liczyć całości, a - na przykład - ćwiartkę, po czym przemnożyć wynik przez $4$.

Gdybyśmy sobie rozwiązali układ równań
$\left\{\begin{matrix} z=2 \\ 3z=x^2+y^2 \end{matrix}\right.$
dostaniemy $6=x^2+y^2$, czyli okrąg o promieniu $\sqrt{6}$, to brzeg miski (gdyby jeszcze dodać $z=2$).

Możesz zatem przyjąć, że $x$ się zmienia od $-\sqrt{6}$ do $\sqrt{6}$, $y$ wyliczyć z równania okręgu, a funkcją pod całką będzie różnica $2-\frac{1}{3}(x^2+y^2)$.

Możesz zmieniać z od $0$ do $2$, tu się narzuca dość oczywista całka pojedyncza, ale można i na siłę zrobić podwójną, żeby kogoś zadowolić. :P

Możesz zmieniać układ współrzędnych. Róbże jak chcesz.
Tylko zaczynaj właśnie od tego, żeby zobaczyć, jaką figurę całkujesz.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 34 drukuj