Analiza matematyczna, zadanie nr 5687
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
aress_poland post贸w: 66 |  2018-02-09 18:24:23Przyjmijmy poni偶sz膮 definicj臋 powierzchni. Definicja: Zbi贸r $S \subset R^{n}$nazywamy powierzchni膮 wymiaru $k\le n$ je艣li dla ka偶dego punktu $x\in S$ istnieje otwarte otoczenie $U$ punktu $x $ w $ R^{n}$, otwarte otoczenie $O$ punktu $0 \in R^{n}$ oraz homeomorfizm $\alpha : U\rightarrow O$, $\alpha (x)=0$, $\alpha (y)=(\beta^{1}(y),...,\beta^{n}(y))$ taki, 偶e warunek $y \in S \cap U$ jest r贸wnowa偶ny warunkowi $\beta^{k+1}(y)=...=\beta^{n}(y)=0$. M贸wimy, 偶e $S$ jest powierzchni膮 klasy $C^{r}$ je艣li $\alpha$ jest dyfeomorfizmem klasy $C^{r}$. Zachodzi nast臋puj膮ce twierdzenie. Twierdzenie (o maksymalnym rz臋dzie): Niech $F:R^{n}\supset O\rightarrow R^{m}$, $m < n$ b臋dzie odzworowaniem r贸偶niczkowalnym w spos贸b ci膮g艂y. Niech tak偶e $S=F^{-1}(0,...,0)$ b臋dzie zawarte w $O$. W贸wczas je艣li w ka偶dym punkcie $p \in S$ pochodna $F\'(p)$ ma maksymalny rz膮d (czyli r贸wny m) to $S$ jest powierzchni膮 w $R^{n}$ wymiaru $k=n-m$. Wniosek z twierdzenia: Je艣li zbi贸r jest (lokalnie) poziomic膮 odwzorowania klasy $C^{1}$ to jest te偶 (lokalnie) powierzchni膮. Pisz臋 \"lokalnie\", bo w dowodzie twierdzenia o maksymalnym rz臋dzie korzystam z Twierdzenie o Funkcji Uwik艂anej, kt贸re zak艂ada lokalno艣膰 odwzorowania. Pojawia si臋 pytanie, czy zachodzi implikacja odwrotna do tej zapisanej we wniosku tzn. mo偶emy zada膰 nast臋puj膮ce pytanie. Pytanie: Czy prawdziwe jest nast臋puj膮ce zdanie. Je艣li dany zbi贸r jest (lokalnie) powierzchni膮 to czy ten zbi贸r jest (lokalnie) poziomic膮 pewnego odwzorowania r贸偶niczkowalnego? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2018-02-09 18:26:11 przez aress_poland |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj