logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 570

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Aneta
postów: 1255
2012-10-27 19:36:51

Indukcja Matematyczna:
$n^{n+1}>(n+1)^{n}$ $\forall_{n>3}$
$(i)3 \in A $
$4^3>3^4$
81>64
(ii)założenie $n^{n+1}>(n+1)^{n}$
teza:$(n+1)^{n+2}>(n+2)^{n+1}$
Dowód:
$L=(n+1)^{n+2}$=


tumor
postów: 8085
2012-10-27 21:01:12

Na początek przypomnimy sobie, że

$(n+1)^n=\sum_{k=0}^{n}n^k{n \choose k}$

$(n+1)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}n^k{n+1 \choose k}$

$(n+2)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}(n+1)^k{n+1 \choose k}$

Ponadto, jeśli k,n są ustalonymi liczbami naturalnymi, $k\le n$, to jeśli
$n^{n+1}>(n+1)^n$, to podnosząc obie strony do potęgi $\frac{k}{n}$
otrzymujemy
$n^{k+1}\ge n^{k+\frac{k}{n}}>(n+1)^k$

teraz jesteśmy przygotowani do rozpykania nierówności.

$L=(n+1)^{n+2}=(n+1)(n+1)^{n+1}=(n+1)\sum_{k=0}^{n+1}n^k{n+1 \choose k}\ge n\sum_{k=0}^{n+1}n^k{n+1 \choose k}=\sum_{k=0}^{n+1}n^{k+1}{n+1 \choose k}$

Korzystamy z przygotowanej nierówności i dostajemy

$L\ge\sum_{k=0}^{n+1}n^{k+1}{n+1 \choose k}>\sum_{k=0}^{n+1}(n+1)^k{n+1 \choose k}=(n+2)^{n+1}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 4 drukuj