Inne, zadanie nr 5726
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
13natalia13 post贸w: 3 |  2018-04-20 21:01:13Mam takie twierdzenie: Niech $\Omega \subset \mathbb{C}$ b臋dzie obszarem, w贸wczas nast臋puj膮ce warunki s膮 r贸wnowa偶ne: i) $\forall f \in \mathcal{O}(\Omega) \: \exists F \in \mathcal{O}(\Omega): \quad F\'=f, \quad$ (istnienie funkcji pierwotnej) ii) $\forall f \in \mathcal{O}_*(\Omega) \: \exists g \in \mathcal{O}(\Omega): \quad e^g=f, \quad$ (istnienie logarytmu) iii) $\forall f \in \mathcal{O}_*(\Omega) \: \exists g \in \mathcal{O}_*(\Omega): \quad g^2=f, \quad$ (istnienie pierwiastka) iv) $\Omega$ jest obszarem jednosp贸jnym. ( $\mathcal{O}_*(\Omega)$ oznacza zbi贸r funkcji holomorficznych, kt贸re nigdzie sie nie zeruj膮) potrzebuj臋 je udowodni膰, jak na razie mam tyle: i) $\Rightarrow$ ii) Niech $f\in \mathcal{O}_*(\Omega)$, w贸wczas wiemy, 偶e $\dfrac{f\'}{f} \in \mathcal{O}(\Omega)$ i na mocy i) istnieje funkcja pierwotna $g \in \mathcal{O}(\Omega)$ taka, 偶e $g\'=\dfrac{f\'}{f}$, czyli $g\'\cdot f=f\'$. Je艣li teraz ustalimy $z_0 \in \Omega$, to istnieje $g$ takie, 偶e $e^{g(z_0)}=f(z_0)$ i w贸wczas $\left( \dfrac{e^g}{f}\right)\'=0$, czyli $\dfrac{e^g}{f}=const$. Dostajemy wi臋c, 偶e $e^g=f$. ii) $\Rightarrow$ iii) Wystarczy, 偶e podstawimy: $\displaystyle e^g=\left(e^{\frac{g}{2}}\right)^2.$ i) $\Rightarrow$ iv) Niech $f\in\mathcal{O}(\Omega)$, gdzie $\Omega$ jest obszarem w $\mathbb{C}$. Posiada ona pierwotn膮, kt贸r膮 mo偶emy zdefiniowa膰 nast臋puj膮co dla punktu $z_0 \in \Omega$: $$F(z):=\int_{z_0}^z f(\xi)d\xi, \quad z\in\Omega.$$ Jednak, aby to mia艂o sens, ca艂ka nie mo偶e zale偶e膰 od drogi ca艂kowania pomi臋dzy $z_0$ i $z$, a wiemy z Twierdzenia Cauchy\'ego, 偶e zachodzi to dla obszaru jednosp贸jnego. z tym, 偶e nie jestem pewna poprawno艣ci tego dowodu a zw艂aszcza ostatniej implikacji, czy kto艣 wie jak pom贸c? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj