logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 5746

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

salieri93
postów: 1
2018-05-21 16:59:22

Cześć wszystkim!
Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu tego układu równań
x3−9y=0
y3−9x=0
Musze wyzączyć punkty


tumor
postów: 8070
2018-05-22 00:01:47

Poproszę czytelnie zapisywać.

$\left\{\begin{matrix} x^3-9y=0 \\ y^3-9x=0 \end{matrix}\right.$

Oczywistymi na oko rozwiązaniami są (0,0), (3,3) i (-3,-3). Dobrze byłoby pokazać, że nie ma innych.
Przypuśćmy, że $x\in (0,3)$, wtedy $x^2<9$, czyli $0<y<x$ i jednocześnie
$y^2<9$ oraz $x<y$, sprzeczność.
Przypuśćmy, że $x>3$, wtedy $x^2>9$, zatem $y>x$, czyli $y>3$, wtedy $x>y$, sprzeczność.


chiacynt
postów: 749
2018-05-22 17:51:04

Bardziej formalnie, jeśli odejmiemy na przykład II równanie układu od I to otrzymamy układ:

$ \begin{cases} x^3 -9y =0 \\ (x^2 -y^3) -9y + 9x = (x^3-y^3) + 9(x-y) = 0 \end{cases} $ (1)

Z równania II (1)

$ (x-y)(x^2+xy +y^2) +9(x-y) = 0 $ (2)

$ (x-y)[ x^2 +xy +y^2 +9 ]= 0 $ (3)

$ x-y = 0 , \ \ y = x.$ (4)

Uwzględniając równość (4) w równaniu I układu (1)

$ x^3 - 9x = 0 $

$ x(x^2 -9) = x(x+3)(x-3)=0.$

$ x_{1} = 0,\ \ x_{2}=-3, \ \ x_{3} = 3.$ (5)

Na podstawie (4)

$ y_{1} = 0, \ \ y_{2} = -3, \ \ y_{3} = 3.$ (6)

Rozwiązaniami układu są więc pary liczb:

$ (0,0) \ \ (-3,-3) \ \ (3, 3).$ (7)

Pozostał do zbadania czynnik drugi równania (3)

$ x^2 +xy +y^2 + 9 = 0 $

Czynnik ten nic nowego nie wnosi do rozwiązań (7), gdyż

dla $ y = x, \ \ 3x^2 + 9 > 0, $

a ponadto

$ x^2 + xy + y^2 + 9 = (x-y)^2 + 3(xy +3) = (x+y)^2 - xy +9 = 0, $

i dla $ x = y, \ \ 3(x^2 +3)> 0.$




tumor
postów: 8070
2018-05-22 21:25:51

Zauważę, że z (3) wynika
$x=y$ LUB $x^2+xy+y^2+9=0$,

Z (3) wynika $x=y$ TYLKO DLATEGO, że $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwiązań, nie można zatem uzasadnić, że $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwiązań poprzez zakładanie, że $x=y$.

Równania $x^2+xy+y^2+9=0$ nie rozwiązujemy zatem przy założeniu $x=y$, chyba że skądinąd (np z symetrii równań) możemy to założenie wywnioskować.

Założenie to natomiast nie jest konieczne dla wykazania, że
$x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwiązań, bowiem wyraźnie widać, że co najmniej jedno z wyrażeń $xy, -xy$ jest nieujemne, wobec czego co najmniej jedno z wyrażeń
$(x-y)^2+3xy+9$
$(x+y)^2-xy+9$
jest dodatnie (oczywiście są równe, więc dodatnie są oba).


chiacynt
postów: 749
2018-05-23 09:52:48

Nie zakładamy na początku, że $ x = y$

Drugi czynnik równania $ (x-y)^2 + 3(xy+3)$ dla $ x = y $ nie wnosi dodatkowych rozwiązań $ x^2 =-3.$

Należało jednak o tym wspomnieć dla dobra autora postu.

Można oczywiście jak Pan sugeruje go pominąć.



tumor
postów: 8070
2018-05-23 23:34:22

Wnoszenie albo niewnoszenie czegoś do rozwiązań przez czynnik
$x^2+xy+y^2+9$ jest argumentowane przy założeniu $x=y$ (pięć ostatnich linii, w których argumentacja dwukrotnie odnosi się do $x=y$, ani raz nie porusza możliwości $x\neq y$).

Nie jestem Pan.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj