Inne, zadanie nr 5746
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
salieri93 post贸w: 1 |  2018-05-21 16:59:22Cze艣膰 wszystkim! Potrzebuje pomocy w rozwi膮zaniu tego uk艂adu r贸wna艅 x3−9y=0 y3−9x=0 Musze wyz膮czy膰 punkty |
tumor post贸w: 8070 | 2018-05-22 00:01:47 Poprosz臋 czytelnie zapisywa膰. $\left\{\begin{matrix} x^3-9y=0 \\ y^3-9x=0 \end{matrix}\right.$ Oczywistymi na oko rozwi膮zaniami s膮 (0,0), (3,3) i (-3,-3). Dobrze by艂oby pokaza膰, 偶e nie ma innych. Przypu艣膰my, 偶e $x\in (0,3)$, wtedy $x^2<9$, czyli $0<y<x$ i jednocze艣nie $y^2<9$ oraz $x<y$, sprzeczno艣膰. Przypu艣膰my, 偶e $x>3$, wtedy $x^2>9$, zatem $y>x$, czyli $y>3$, wtedy $x>y$, sprzeczno艣膰. |
chiacynt post贸w: 749 | 2018-05-22 17:51:04 Bardziej formalnie, je艣li odejmiemy na przyk艂ad II r贸wnanie uk艂adu od I to otrzymamy uk艂ad: $ \begin{cases} x^3 -9y =0 \\ (x^2 -y^3) -9y + 9x = (x^3-y^3) + 9(x-y) = 0 \end{cases} $ (1) Z r贸wnania II (1) $ (x-y)(x^2+xy +y^2) +9(x-y) = 0 $ (2) $ (x-y)[ x^2 +xy +y^2 +9 ]= 0 $ (3) $ x-y = 0 , \ \ y = x.$ (4) Uwzgl臋dniaj膮c r贸wno艣膰 (4) w r贸wnaniu I uk艂adu (1) $ x^3 - 9x = 0 $ $ x(x^2 -9) = x(x+3)(x-3)=0.$ $ x_{1} = 0,\ \ x_{2}=-3, \ \ x_{3} = 3.$ (5) Na podstawie (4) $ y_{1} = 0, \ \ y_{2} = -3, \ \ y_{3} = 3.$ (6) Rozwi膮zaniami uk艂adu s膮 wi臋c pary liczb: $ (0,0) \ \ (-3,-3) \ \ (3, 3).$ (7) Pozosta艂 do zbadania czynnik drugi r贸wnania (3) $ x^2 +xy +y^2 + 9 = 0 $ Czynnik ten nic nowego nie wnosi do rozwi膮za艅 (7), gdy偶 dla $ y = x, \ \ 3x^2 + 9 > 0, $ a ponadto $ x^2 + xy + y^2 + 9 = (x-y)^2 + 3(xy +3) = (x+y)^2 - xy +9 = 0, $ i dla $ x = y, \ \ 3(x^2 +3)> 0.$ |
tumor post贸w: 8070 | 2018-05-22 21:25:51 Zauwa偶臋, 偶e z (3) wynika $x=y$ LUB $x^2+xy+y^2+9=0$, Z (3) wynika $x=y$ TYLKO DLATEGO, 偶e $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwi膮za艅, nie mo偶na zatem uzasadni膰, 偶e $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwi膮za艅 poprzez zak艂adanie, 偶e $x=y$. R贸wnania $x^2+xy+y^2+9=0$ nie rozwi膮zujemy zatem przy za艂o偶eniu $x=y$, chyba 偶e sk膮din膮d (np z symetrii r贸wna艅) mo偶emy to za艂o偶enie wywnioskowa膰. Za艂o偶enie to natomiast nie jest konieczne dla wykazania, 偶e $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwi膮za艅, bowiem wyra藕nie wida膰, 偶e co najmniej jedno z wyra偶e艅 $xy, -xy$ jest nieujemne, wobec czego co najmniej jedno z wyra偶e艅 $(x-y)^2+3xy+9$ $(x+y)^2-xy+9$ jest dodatnie (oczywi艣cie s膮 r贸wne, wi臋c dodatnie s膮 oba). |
chiacynt post贸w: 749 | 2018-05-23 09:52:48 Nie zak艂adamy na pocz膮tku, 偶e $ x = y$ Drugi czynnik r贸wnania $ (x-y)^2 + 3(xy+3)$ dla $ x = y $ nie wnosi dodatkowych rozwi膮za艅 $ x^2 =-3.$ Nale偶a艂o jednak o tym wspomnie膰 dla dobra autora postu. Mo偶na oczywi艣cie jak Pan sugeruje go pomin膮膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2018-05-23 23:34:22 Wnoszenie albo niewnoszenie czego艣 do rozwi膮za艅 przez czynnik $x^2+xy+y^2+9$ jest argumentowane przy za艂o偶eniu $x=y$ (pi臋膰 ostatnich linii, w kt贸rych argumentacja dwukrotnie odnosi si臋 do $x=y$, ani raz nie porusza mo偶liwo艣ci $x\neq y$). Nie jestem Pan. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj