Inne, zadanie nr 5746
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
salieri93 postów: 1 | 2018-05-21 16:59:22 Cześć wszystkim! Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu tego układu równań x3−9y=0 y3−9x=0 Musze wyzączyć punkty |
tumor postów: 8070 | 2018-05-22 00:01:47 Poproszę czytelnie zapisywać. $\left\{\begin{matrix} x^3-9y=0 \\ y^3-9x=0 \end{matrix}\right.$ Oczywistymi na oko rozwiązaniami są (0,0), (3,3) i (-3,-3). Dobrze byłoby pokazać, że nie ma innych. Przypuśćmy, że $x\in (0,3)$, wtedy $x^2<9$, czyli $0<y<x$ i jednocześnie $y^2<9$ oraz $x<y$, sprzeczność. Przypuśćmy, że $x>3$, wtedy $x^2>9$, zatem $y>x$, czyli $y>3$, wtedy $x>y$, sprzeczność. |
chiacynt postów: 749 | 2018-05-22 17:51:04 Bardziej formalnie, jeśli odejmiemy na przykład II równanie układu od I to otrzymamy układ: $ \begin{cases} x^3 -9y =0 \\ (x^2 -y^3) -9y + 9x = (x^3-y^3) + 9(x-y) = 0 \end{cases} $ (1) Z równania II (1) $ (x-y)(x^2+xy +y^2) +9(x-y) = 0 $ (2) $ (x-y)[ x^2 +xy +y^2 +9 ]= 0 $ (3) $ x-y = 0 , \ \ y = x.$ (4) Uwzględniając równość (4) w równaniu I układu (1) $ x^3 - 9x = 0 $ $ x(x^2 -9) = x(x+3)(x-3)=0.$ $ x_{1} = 0,\ \ x_{2}=-3, \ \ x_{3} = 3.$ (5) Na podstawie (4) $ y_{1} = 0, \ \ y_{2} = -3, \ \ y_{3} = 3.$ (6) Rozwiązaniami układu są więc pary liczb: $ (0,0) \ \ (-3,-3) \ \ (3, 3).$ (7) Pozostał do zbadania czynnik drugi równania (3) $ x^2 +xy +y^2 + 9 = 0 $ Czynnik ten nic nowego nie wnosi do rozwiązań (7), gdyż dla $ y = x, \ \ 3x^2 + 9 > 0, $ a ponadto $ x^2 + xy + y^2 + 9 = (x-y)^2 + 3(xy +3) = (x+y)^2 - xy +9 = 0, $ i dla $ x = y, \ \ 3(x^2 +3)> 0.$ |
tumor postów: 8070 | 2018-05-22 21:25:51 Zauważę, że z (3) wynika $x=y$ LUB $x^2+xy+y^2+9=0$, Z (3) wynika $x=y$ TYLKO DLATEGO, że $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwiązań, nie można zatem uzasadnić, że $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwiązań poprzez zakładanie, że $x=y$. Równania $x^2+xy+y^2+9=0$ nie rozwiązujemy zatem przy założeniu $x=y$, chyba że skądinąd (np z symetrii równań) możemy to założenie wywnioskować. Założenie to natomiast nie jest konieczne dla wykazania, że $x^2+xy+y^2+9=0$ nie ma rozwiązań, bowiem wyraźnie widać, że co najmniej jedno z wyrażeń $xy, -xy$ jest nieujemne, wobec czego co najmniej jedno z wyrażeń $(x-y)^2+3xy+9$ $(x+y)^2-xy+9$ jest dodatnie (oczywiście są równe, więc dodatnie są oba). |
chiacynt postów: 749 | 2018-05-23 09:52:48 Nie zakładamy na początku, że $ x = y$ Drugi czynnik równania $ (x-y)^2 + 3(xy+3)$ dla $ x = y $ nie wnosi dodatkowych rozwiązań $ x^2 =-3.$ Należało jednak o tym wspomnieć dla dobra autora postu. Można oczywiście jak Pan sugeruje go pominąć. |
tumor postów: 8070 | 2018-05-23 23:34:22 Wnoszenie albo niewnoszenie czegoś do rozwiązań przez czynnik $x^2+xy+y^2+9$ jest argumentowane przy założeniu $x=y$ (pięć ostatnich linii, w których argumentacja dwukrotnie odnosi się do $x=y$, ani raz nie porusza możliwości $x\neq y$). Nie jestem Pan. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj