logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 5747

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

xyz
postów: 18
2018-05-22 19:05:03

Proszę o pomoc.

Elipsa jest styczna do dwóch prostych: x+y=5 i x-4y=10. Znaleźć równanie kanoniczne tej elipsy.

Próbowałam z równań tych stycznych wyliczyć y i podstawić do równania kanonicznego elipsy i przyrównać do siebie ale nie wiem co dalej. To mi chyba nic nie dało.



tumor
postów: 8070
2018-05-22 21:41:00

To jeszcze bardzo zależy od tego, o jaką elipsę pytamy.

Jeśli chodzi o elipsę
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, to ma ona mieć z każdą z prostych jeden punkt wspólny, wobec tego po podstawieniu $x=5-y$ ma być $\Delta=0$ i po podstawieniu $x=10+4y$ też ma być $\Delta=0$

Rozważając wszelkie możliwe elipsy (z różnymi środkami i obrotami) dostalibyśmy rozwiązania zależne od różnych parametrów.


chiacynt
postów: 749
2018-05-22 22:28:57



Równanie macierzowe elipsy $ \textbf x^{T} Q \textbf x = 0,$

gdzie macierz

$ Q =\left[\begin{matrix}1/a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/b^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right]$

wektor $ \textbf x =[ x, y, 1].$

Każda prosta $ l, $ która spełnia równanie dualne:

$ \textbf w^{T} Q^{-1}\textbf w = 0, $

gdzie wektor $ \textbf w =[\lambda,\ \ \mu, \ \ \nu]$ jest wektorem współczynników prostej $l = \lambda x +\mu y + \nu =0 $ - jest styczną do elipsy.

Macierz odwrotna macierzy $ Q $ jest macierzą:

$ Q^{-1} = diag[ a^2,\ \ b^2, \ \ -1]$

Otrzymujemy więc dwa równania macierzowe:

$ [ 1 -4 -10]\left[\begin{matrix}a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\-4\\-10 \end{matrix}\right] = a^2 + 16 b^2 - 100 = 0 $


$ [1 \ \ 1 \ \ -5]\left[\begin{matrix}a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}1\\1\\-5 \end{matrix} \right] = a^2 + b^2 - 25 = 0 $

Rozwiązując układ tych równań otrzymujemy:

$ a^2 = 20, \ \ b^2 =5.$

Równanie kanoniczne elipsy:

$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5} = 1.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj