Geometria, zadanie nr 5747
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
xyz post贸w: 18 |  2018-05-22 19:05:03Prosz臋 o pomoc. Elipsa jest styczna do dw贸ch prostych: x+y=5 i x-4y=10. Znale藕膰 r贸wnanie kanoniczne tej elipsy. Pr贸bowa艂am z r贸wna艅 tych stycznych wyliczy膰 y i podstawi膰 do r贸wnania kanonicznego elipsy i przyr贸wna膰 do siebie ale nie wiem co dalej. To mi chyba nic nie da艂o. |
tumor post贸w: 8070 | 2018-05-22 21:41:00 To jeszcze bardzo zale偶y od tego, o jak膮 elips臋 pytamy. Je艣li chodzi o elips臋 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, to ma ona mie膰 z ka偶d膮 z prostych jeden punkt wsp贸lny, wobec tego po podstawieniu $x=5-y$ ma by膰 $\Delta=0$ i po podstawieniu $x=10+4y$ te偶 ma by膰 $\Delta=0$ Rozwa偶aj膮c wszelkie mo偶liwe elipsy (z r贸偶nymi 艣rodkami i obrotami) dostaliby艣my rozwi膮zania zale偶ne od r贸偶nych parametr贸w. |
chiacynt post贸w: 749 | 2018-05-22 22:28:57 R贸wnanie macierzowe elipsy $ \textbf x^{T} Q \textbf x = 0,$ gdzie macierz $ Q =\left[\begin{matrix}1/a^2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/b^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right]$ wektor $ \textbf x =[ x, y, 1].$ Ka偶da prosta $ l, $ kt贸ra spe艂nia r贸wnanie dualne: $ \textbf w^{T} Q^{-1}\textbf w = 0, $ gdzie wektor $ \textbf w =[\lambda,\ \ \mu, \ \ \nu]$ jest wektorem wsp贸艂czynnik贸w prostej $l = \lambda x +\mu y + \nu =0 $ - jest styczn膮 do elipsy. Macierz odwrotna macierzy $ Q $ jest macierz膮: $ Q^{-1} = diag[ a^2,\ \ b^2, \ \ -1]$ Otrzymujemy wi臋c dwa r贸wnania macierzowe: $ [ 1 -4 -10]\left[\begin{matrix}a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 \\-4\\-10 \end{matrix}\right] = a^2 + 16 b^2 - 100 = 0 $ $ [1 \ \ 1 \ \ -5]\left[\begin{matrix}a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}1\\1\\-5 \end{matrix} \right] = a^2 + b^2 - 25 = 0 $ Rozwi膮zuj膮c uk艂ad tych r贸wna艅 otrzymujemy: $ a^2 = 20, \ \ b^2 =5.$ R贸wnanie kanoniczne elipsy: $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5} = 1.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj